∵BC=CD,∠BCD=, π-ππ
∴∠CBD=∠CDB=3=.
26
2
2π3又∠CDE=,∴∠BDE=.
∴在Rt△BDE中,BE=√????2+D??2 3√393√3=√()+()=km.
10
10
5
3√3 km. 5
π3
222π3π2
故道路BE的长度为
(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=, ∴∠AEB=-α. 在△ABE中,∴AB=sin(
1265
????????????3√36
====, sin∠??????sin∠??????sin∠??????5sin π5
32π3
2π6
-α)km,AE=sin α km. 35
π9√32π9√31π12
sin(-α)sin α=·[sin(2??-)+]km. 325325264
∴S△ABE=AB·AEsin =∵0<α<, ∴-<2α-<, ∴当2α-=, ππ
62π6
π7π662π3
即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为故生活区△ABE面积的最大值为
π39√31127√3×(+)=, 252410027√32 km. 100
【五年高考】
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2 B.√30 C.√29 D.2√5 答案 A
2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
5
??√525
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A
3.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
3√10 10
π4
13
A.
B.
√1010
C.-
√1010
D.-
3√10 10
答案 C
4.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A
5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 答案
21 13
45
513
6.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案
√217
;3 7.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos∠ABD= . 答案
8.(2019课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)=sinA-sin Bsin C. (1)求A;
(2)若√2a+b=2c,求sin C.
解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.
(1)由已知得sinB+sinC-sinA=sin Bsin C,故由正弦定理得b+c-a=bc. 由余弦定理得
??2+??2-??21
cos A==.
2????2
2
2
2
2
2
2
2
2
12√27√2; 510
因为0°
(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
2
2
2
√6√31
2
√2由于0°
2
√2故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=
√6+√24.
思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C. 9.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.
解析 (1)在△ABD中,由正弦定理得
????????
=. sin∠??sin∠??????
6
由题设知,
52
=,所以sin45°sin∠??????
sin∠ADB=. 5
2√23=. 255
√2由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-√2(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 5
在△BCD中,由余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×=25.
2
2
2
√25
所以BC=5.
10.(2019天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin(2??+)的值.
解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在△ABC中,由
????
=,得sin??sin??π6
bsin C=csin B,
又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b=a,c=a. 由余弦定理可得
222
??2+??2-??2??+9??-9??1
cos B==2=-4. 2????2·??·a
4
323
4163(2)由(1)可得sin B=√1-cos2B=从而sin 2B=2sin Bcos B=-π6√15√154
,
2
2
8
,cos 2B=cosB-sinB=-,
π6√1578
故sin(2??+)=sin 2Bcos +cos 2Bsin =-π68×-×=-28√37
123√5+7. 16思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin(2??+)的值.
11.(2019北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.
解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力. (1)由余弦定理b=a+c-2accos B,得 b=3+c-2×3×c×(-).
2
2
2
2
2
2
π6
12
12
因为b=c+2,所以(c+2)=3+c-2×3×c×(-).
2
2
2
12
解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-得sin B=. 212√3由正弦定理得sin C=sin B=????5√3. 14 7
在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角. 所以cos C=√1-sin2C=. 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=
4√3. 7111412.(2019江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=,求c的值; (2)若
sin??cos??
=,求??2??
2
3sin(??+)的值.
π2
解析 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为a=3c,b=√2,cos B=, 由余弦定理得cos B=即c=.所以c=.
2
23??2+??2-??22(3??)2+??2-(√2)2
,得=, 2????32×3??×??1
3
√33
(2)因为由
sin??cos??
=, ??2??
????cos??sin??=,得=,所以sin??sin??2????
2
2
cos B=2sin B.
2
2
从而cosB=(2sin B),即cosB=4(1-cosB), 故cosB=. 2
4
5
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=因此sin(??+)=cos B=
π22√5. 52√5. 5
考点二 解三角形及其综合应用
13.(2019课标Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为 . 答案 6√3
14.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 . 答案 (√6-√2,√6+√2)
15.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 答案
√15√10π3
2;4
??2
. 3sin??16.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力. (1)由题设得acsin B=
12??21??
,即csin B=. 3sin??23sin?? 8