§5.4 解三角形及其综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一 正弦定理和余弦定理

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=√5,且cos C=5

6,则a=( ) A.2√2 B.3 C.3√2 D.4 答案 B

2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则????

等于( ) A.34

2 B.3 C.√2 D.√3 答案 D

3.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2

+c2

-√3bc=a2

,bc=√3a2

,则角C的大小是( A.π或2π B.π C.2π D.π63336

答案 A

4.若△ABC的面积为√3(a2

+c2

-b2

),且∠C为钝角,则∠B= ;??4

??

的取值范围是 .

答案 π

3

;(2,+∞)

5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)·sin C. (1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状. 解析 (1)由已知,结合正弦定理, 得2a2

=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2

=b2

+c2

+bc.

又a2

=b2

+c2

-2bccos A,

所以bc=-2bccos A,即cos A=-12

. 由于A为三角形的内角,所以A=2π3

. (2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,

得2sin2

A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,

即sin2

A=sin2

B+sin2

C+sin Bsin C=sin

22π

=334

. 又由sin B+sin C=1,

得sin2

B+sin2

C+2sin Bsin C=1,

解得sin B=sin C=12

,

因为0

1

)

所以B=C=, 所以△ABC是等腰三角形.

π6

考点二 解三角形及其综合应用

6.在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为( )

15√3 4

1314

A.

B. C.

15421√3 4

D.

35√3 4

答案 A

7.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为( )

A.20√3 海里 B.40√3 海里 C.20(1+√3)海里 D.40海里 答案 B

8.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3) C.(2+√2,3+√3) D.(2+√2,3+√3] 答案 C

9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

答案 100√6

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一 利用正、余弦定理解三角形

1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A. B. C. D. 答案 B

2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABCC=( )

2

??2+??2-??2

的面积为,则

4

π6

π3

2π3

5π6

sin????

+=1,则

sin??+sin????+??

C=( )

A. B. C. D. 答案 C

3.(2019上海金山二模,7)已知△ABC中,tan A=,tan B=,AB=√17.求:

45(1)角C的大小;

(2)△ABC中最短边的边长. 解析

+tan??+tan??

(1)tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-4153=-1,

1-tan??tan??1-×

4513

π2π3π4π6

13

所以C=.

(2)因为tan A

????????

=, sin??sin??

????·sin??√17×17BC==√2sin??

2√173π4

14

√1717

. 所以

=√2.

故△ABC中最短边的边长为√2.

考法二 三角形形状的判断

4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,a=b+c-bc,则△ABC的形状是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 A

5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A.等腰三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D

6.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角 答案 B

tan??-tan????-??

=,则这个三角形必含有(

tan??+tan????

??cos??1+cos2??

=,则△ABC??cos??1+cos2??

2

2

2

的形状是( )

)

考法三 与三角形的面积、范围有关的问题

7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积.

解析 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=×7=3.

由余弦定理a=b+c-2cbcos A得7=b+3-2b×3×,得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6√3. 22222

2

2

2

2

2

3

7

37??sin??3√33√3=×=. ??7214

3

7

111√3 3

8.(2019江西临川一中12月月考,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2csin B=3atan A. (1)求

??+??2

的值; ??22

(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值.

解析 (1)2csin B=3atan A?2csin Bcos A=3asin A?2bc·cos A=3a,

2

即2bc·则

??+??2-??22222

=3a,∴b+c=4a, 2????

2

??2+??2

=4. ??22

2

(2)∵a=2,∴b+c=16,∴cos A=又b+c≥2bc,即8≥bc,

2

2

??2+??2-??26

=. 2????????

当且仅当b=c时,取等号, ∴cos A≥=. 由cos A=得bc=则A∈(0,),

∴S△ABC=bcsin A=3tan A. 2

63

84

6????6

, cos??

π2

12

∵1+tanA=1+∴tan A=√

sin2Acos2A+sin2A1

==2, 22cosAcosAcosA

116√7-1≤√-1=, cos2A93

∴S△ABC=3tan A≤√7,

故△ABC的面积的最大值为√7.

考法四 解三角形的实际应用

9.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,A、B间距84米,则塔高为( ) A.24米 B.12√5 米 C.12√7 米 D.36米 答案 C

10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km. (1)求道路BE的长度;

(2)求生活区△ABE的面积的最大值.

2π

3

π3

910

解析 (1)如图,连接BD,在△BCD中,BD=BC+CD-2BC·CDcos∠BCD=

2

2

2

273√3,∴BD=(km). 10010 4