例1（2010四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．sQsAEJkW5T 请解答下列问题：

（1）S1= ；

（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn= ．

分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．GMsIasNXkA 解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1， ∴正方形的面积为1，

又∵直角三角形一个角为30°， ∴三角形的一条直角边为

311，另一条直角边就是12?()2=，

222∴三角形的面积为∴S1=1+331×÷2=，

2823； 8333，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的， 2443同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，

43333333∴S2=（1+）?，依此类推，S3═（1+）??，即S3═（1+）?()2，

888444433n?1)?()（n为整数）Sn=(1?． 84点评：本题重点考查了勾股定理的运用．

例2（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）TIrRGchYzg ①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；

（2）∵第二个正方形的边长为③四边形A5B5C5D5的周长是

a?b 4④四边形AnBnCnDn的面积是

ab． 2n?1

A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：7EqZcWLZNX ①根据矩形的判定与性质作出判断； ②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5 的周长； ④根据四边形AnBnCnDn 的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积． 解答：解：①连接A1C1，B1D1．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ， ∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC； ∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1， ∴四边形ABCD是平行四边形；

∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）； ∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理）， ∴四边形A2B2C2D2 是菱形； 故本选项错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，A5B5＝＝

111111111A3B3＝×A1B1＝××AB，B5C5＝B3C3＝×B1C1222222222111××BC，lzq7IGf02E 222∴四边形A5B5C5D5的周长是2×

1a?b（a+b）＝；故本选项正确； 84④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

∴S四边形ABCD＝ab；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形AnBnCnDn的面积是故本选项错误；

综上所述，②③④正确； 故选C．

ab； 2n

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．zvpgeqJ1hk 例3：（2009锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并

依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn＝ ．NrpoJac3v1

分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．

解答：根据图形发现：第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为1，S1=πr2=π；第

1111，为×2=； S2=4πr2=4π（）2=π，依次类推，44221则第n个图中，共有n2个圆，所有圆的面积之和Sn=n2πr2=n2π（）2=π， 即都与第一个图中的圆的面

n二个图中，共4个圆，圆的半径等于正方形边长的

积都相等，即为π．1nowfTG4KI 点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．

考点五：与坐标有关规律

这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。最后用n把第n个点的坐标表示出来。fjnFLDa5Zo 例1： 如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点A2012

的坐标为______．tfnNhnE6e5

分析：根据（A1除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2007的坐标．HbmVN777sL 解答：由图形以及叙述可知各个点（除A1点外）分别位于四个象限的角平分线上，

第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n－2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,n）.V7l4jRB8Hs 同理第二象限内点的下标是4n－1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,n）. 第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n, －n）.

第四象限是1＋4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n, －n）. 2012＝4n则n＝503，当2007等于4n＋1或4n或4n－2时，不存在这样的n的值． 故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（－502，502）．

故答案填（﹣503，﹣503）．

点评：本题是一个探究规律的问题，正确对图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解答此题的关键点．83lcPA59W9 例2： （2009湖北仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记

作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为_________．mZkklkzaaP

分析：解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律． 解答：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1， 那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20 n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21AVktR43bpw n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…

－

第n个正方形的边长为：2n1

点评：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．ORjBnOwcEd 考点六：高中知识衔接型——数列求和

本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求2MiJTy0dTT 例题： （2010广东汕头）阅读下列材料：

1(1×2×3－0×1×2)， 312×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，

313×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，

31×2 ＝

由以上三个等式相加，可得 1×2＋2×3＋3×4＝

1×3×4×5 ＝ 20． 3读完以上材料，请你计算下列各题： (4) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (5) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ ______________； (6) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．

分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计