例
3 解题导引 因为小球每次遇到黑色障碍
1
物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此该试验属n次独立重复试验．注意n
2
1
＝3，P＝. 2
独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率P(B)，
则P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
1?3?1?31
所以P(B)＝??2?＋?2?＝4，
13
∴P(A)＝1－＝. 44
方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋．
?1?3＋C2?1?3＝3. ∴P(A)＝C133?2??2?4
34，?. (2)由题意，ξ～B??4??3?3?1?1＝27. ∴P(ξ＝3)＝C34
?4??4?64
变式迁移3 解 (1)要求4秒后，粒子A在x＝2处的概率，即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：
21323C4()3()＝. 3381
(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x＝2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B
2?21?2??1?16
往右和左各一次，所求概率为：?C2?3??3?＝. ?3?·81
课后练习区
1．C 2.B 3.D 4.B 5.A
3
6．0.947 7 7. 8.0.128
70
16，?， 9．解 (1)由已知ξ～B??3??1?k?2?6－k， 分布列为P(ξ＝k)＝Ck6
?3??3?k＝0,1,2,3，…，6.(2分) 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 6419224016060121P 729729729729729729729(4分)
(2)η＝k表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上没有遇上红灯．
1?2?k
当0≤k≤5时，P(η＝k)＝·；
3?3?2?6
当k＝6时，P(η＝6)＝??3?.(9分) 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 6 11212212312412526P · ·() ·() ·() ·() () 333333333333(10分)
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为
2665
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－()6＝.(12分)
3729
10．解 (1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2c. 当c＝1时，b＝2,3,4,5,6； 当c＝2时，b＝3,4,5,6； 当c＝3时，b＝4,5,6； 当c＝4时，b＝4,5,6； 当c＝5时，b＝5,6； 当c＝6时，b＝5,6，
所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，
19
因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为.(4分)
3617
(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝，
36
2117
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，
361836
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 17117P 361836(8分)
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M， “方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
117
则P(M)＝，P(M∩N)＝，
3636P?M∩N?7
P(N|M)＝＝.(12分)
11P?M?
11．解 (1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．
1?41
在第一种情况下，乙取胜的概率为??2?＝16，
?1?41＝1， 在第二种情况下，乙取胜的概率为C34
?2?28
所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 113
＋＝.(5分) 16816
(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比赛打满七局乙胜”为事件B.
1111??4??＝， 则P(A)＝C4
?2??2?8?1?4?1?＝1， P(B)＝C34
?2??2?8
又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为
1
P(A)＋P(B)＝.(9分)
4
1?21
(3)P(ξ＝4)＝??2?＝4，
?1?2?1?＝1， P(ξ＝5)＝C12
?2??2?4
1?3?1??1?41?P(ξ＝6)＝C13
?2??2?＋?2?＝4， ?1?4?1?＋C3?1?4·?1?＝1，(13分) P(ξ＝7)＝C144?2??2??2??2?4
所以ξ的分布列为
ξ 4 5 6 7 1111P 4444(14分)