=(1111111Sn?)?S?（?)?S?...?(?)?S??S? 12n?1n222222221223(n?1)nnnn2?nnn?3>3 =2n1所以，当n?1时，2?a1a2an?...??3n. 222n9.（2010·上海高考理科·Ｔ20）已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* （1）证明：?an?1?是等比数列；
（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由． 【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系．
【思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出an与an?1的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出an,
?Sn?1?Sn再求Sn，由?估算n的值．
S?Sn?n?1【规范解答】（1）当n=1时，a1?1?5a1?85，所以a1??14；
当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?5an?85?(n?1?5an?1?85)，化简得，6an?5an?1?1，即
6(an?1)?5(an?1?1)，
an?155?，所以?an?1?是以a1?1??15为首项，公比为的等比数列．
6an?1?16n?1?5?（2）由（1）得an?1??15???6??5?，所以an??15???6?n?1?1，
n?1n?1??55?????1??85?n?75???90， 且Sn?n?5an?85=n?5??15?????6??6???由??Sn?1?Sn?1n?2n?1??5??5??n?1?75???90?n?75???90?Sn??6??6?*，得?，又由解得n=15． n?Nnn?1?Sn?5??5??n?1?75?90?n?75?????90?6???6??【方法技巧】由数列的前n项和与第n项的关系，求通项an时，要先求a1，然后n?2时，由an?Sn?Sn?1求
an.
*10.（2010·上海高考文科·Ｔ21）已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N
(1)证明：?an?1?是等比数列；
(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系．
【思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出an与an?1的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出an,再求Sn，由Sn?1?Sn解不等式，估算n的值．
【规范解答】（1）当n=1时，a1?1?5a1?85，所以a1??14；
当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?5an?85?(n?1?5an?1?85)，化简得，6an?5an?1?1，即
6(an?1)?5(an?1?1)，
an?155?，所以?an?1?是以a1?1??15为首项，公比为的等比数列．
6an?1?16n?1?5?（2）由（1）得an?1??15???6??5?，所以an??15???6?n?1?1，
n?1n?1??55?????1??85?n?75???90， 且Sn?n?5an?85=n?5??15?????6??6???由Sn?1?5??5??Sn，得n?1?75???90?n?75???6??6?1?14.8，故最小的整数n取15. 5nn?11?5?， ?90，化简，得???615??n所以n?log56【方法技巧】由数列的前n项和与第n项的关系，求通项an时，要先求a1，然后n?2时，由an?Sn?Sn?1求
an。
11.（2010·湖北高考文科·Ｔ19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
【命题立意】本题主要考查由实际问题提取信息、建立数学模型的能力，同时考查考生运用所学知识分析和解决实际问题的能力．
【思路点拨】（Ⅰ）由题意，设第n年末实际住房面积为an，则an?1.1an?1?b且a1?1.1a?b（单位：m2）。 （Ⅱ）由an?1.1an?1?b求出a5，结合题意建立方程即可解得。
?【规范解答】设第n年末实际住房面积为an(n?N)。
（Ⅰ）由题意，则a1?1.1a?b（单位：m2），
a2?1.1a1?b?1.1(1.1a?b)?b?1.21a?2.1b（单位：m2）
232（Ⅱ）a3?1.1a2?b?1.1(1.1a?1.1b?b)?b?1.1a?1.1b?1.1b?b
a4?1.1a3?b?1.1(1.13a?1.12b?1.1b?b)?b
?1.14a?1.13b?1.12b?1.1b?b
a5?1.1a4?b?1.1(1.14a?1.13b?1.12b?1.1b?b)?b
?1.15a?1.14b?1.13b?1.12b?1.1b?b b(1?1.15)?1.6a??1.6a?6b
1?1.1由题意1.6a?6b?1.3a，解得b?aa，所以每年拆除的旧住房面积为（单位：m2）。 2020?【方法技巧】本题第（Ⅱ）问也可通过构造新数列先求an(n?N)，再求a5，进而解方程求b。过程如下：
由an?1.1an?1?b且a1?1.1a?b可得：an?10b?1.1(an?1?10b)，若a1?10b?0，则an?10b?0，从而
a5?a1?1.1a?b?1.3a与题目条件矛盾；a1?10b?0时，数列?an?10b?是以a1?10b为首项，1.1为公比的
n?1n?1n等比数列，因此an?10b?(a1?10b)1.1，从而an?(a1?10b)1.1?10b?(a?10b)1.1?10b，
a5?(a?10b)1.15?10b?1.6a?6b由题意1.6a?6b?1.3a，解得b?12.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列?an?满足: a1?数列?bn?满足：bn =an?12?an2（n≥1）. (Ⅰ)求数列?an?，?bn?的通项公式;
(Ⅱ)证明:数列?bn?中的任意三项不可能成等差数列.
a。 203?1?an?1?2?1?an?1, , ang?an?1?0?n?1?；21?an1?an?1【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．
2【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列?cn?满足：cn?1?an，先求?cn?的通项公式，再求?an?的通项公式，最
后求?bn?的通项公式。
(Ⅱ)用反证法证明。 【规范解答】(Ⅰ)由题意可知： 1?an?1?2223(1?an2)，令cn?1?an2，则cn?1?cn，又c1?1?a12?，所334以数列?cn?是以
3232n?1321为首项，为公比的等比数列，即cn?g()，故an2?1?g()n?1。又a1?>0，434343232angan?1?0， 故an?(?1)n?11?g()n?1， bn?an?12?an2=
433232n?112n?1[1?g()n]?[1?g()]=g()。
434343(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列?bn?存在三项br，bs，bt(r?s?t)按某种顺序构成等差数列，由于数列?bn?是以
12为首项，为公比的等比数列，于是一定有br?bs?bt， 则只能有2bs?br?bt成立，即：431212122gg()s?1?g()r?1?g()t?1，两边同乘以3t?121?r可得： 4343432g2s?r3t?s?3t?r?2t?r，由于r?s?t，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。
故数列?bn?中的任意三项不可能成等差数列。
【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。
13.（2010·江西高考文科·Ｔ２２）（本小题满分14分） 正实数数列{an}中,a1?1,a2?5,且{an}成等差数列. (1) 证明数列{an}中有无穷多项为无理数；
(2)当n为何值时，an为整数，并求出使an?200的所有整数项的和.
【命题立意】本题是一类创新题型，主要考查等差数列的定义及通项公式等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，考查思维的严密性，本题属难题.
【思路点拨】（1）从通项公式的结构特点着手，找到非完全平方式的一类表达形式，是解决本小题的关键，此题也可利用整数的平方其末位数的规律求解；（2）利用整数的奇偶性，研究整数分解因式的规律，是解决本类问题的关键.
2 【规范解答】（1）由已知有：an?1?24(n?1)，从而an?1?24(n?1)，
2方法一：取n?1?242k?1，则an?1?242k（k?N）
*用反证法证明这些an都是无理数. 假设an?1?242kkk为有理数，则an必为正整数，且an?24，故an?24?1.
an?24k?1,与(an?24k)(an?24k)?1矛盾，
所以an?1?242k（k?N）都是无理数，即数列{an}中有无穷多项为无理数;
*