（3）放缩法的运用..
5.（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.（1）求通项公式an及Sn；
（2）设{bn?an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn
【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等比数列的前n项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前n项和公式计算；（2）直接套用等比数列的通项公式求出
{bn?an}的通项，再求数列{bn}的通项公式.
【规范解答】（1）因为{an}是首项为19，公差为-2的等差数列， 所以an?19?2(n?1)??2n?21，即an??2n?21；
Sn?19n?n(n?1)(?2)??n2?20n，即Sn??n2?20n. 2n?1n?1（2）因为{bn?an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn?an?3，即bn?3?an，
0n?1所以Tn?b1?b2?L?bn?(3?a1)?(3?a2)?L?(3?an)
1(1?3n)3n?122?(3?3?L?3)?(a1?a2?L?an)??n?20n??n?20n.
1?320n?12【方法技巧】在求Tn时，巧妙的利用（1）中的和Sn??n?20n可以快捷解题.
6.（2010·江西高考理科·Ｔ２２）（本小题满分14分）
证明以下命题：
（1）对任一正整数a，都存在正整数b,c(b?c)，使得a,b,c成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形?n，其边长an,bn,cn为正整数且an,bn,cn成等差数列．
【命题立意】本题是一类新型探索题，主要考查等差数列的定义及通项公式，等差数列的证明等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查等价命题的转化，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，函数与方程思想方法，考查思维的严密性，本题属难题.
【思路点拨】（1）先找到1,5,7成等差数列，是解决本小题的关键；（2）先选取与自然数n有关的多项式进行分解因式，再解方程组确定边长an,bn,cn，最后证明三角形的存在性和无穷性，难点在于构造多项式。 【规范解答】（1）易知1,5,7成等差数列，则a,(5a),(7a)也成等差数列，所以对 任一正整数a，都存在正整数b?5a,c?7a,(b?c)，使得a,b,c成等差数列．
2222222222222222222222222（2）若an,bn,cn成等差数列，则有bn?an?cn?bn，
即(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) ……①
选取关于n的一个多项式，例如4n(n?1)，使得它可按两种方式分解因式，由于
24n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n?2)(2n2?2n)
?an?n2?2n?122???an?bn?2n?2n??cn?bn?2n?2n2(n?4) 因此令?，可得?bn?n?1,???bn?an?2n?2??cn?bn?2n?2?2?cn?n?2n?1易验证an,bn,cn满足①，因此an,bn,cn成等差数列，
2当n?4时，有an?bn?cn且an?bn?cn?n?4n?1?0
因此以an,bn,cn为边长可以构成三角形，将此三角形记为?n(n?4)．
其次，任取正整数m,n(m,n?4,且m?n)，假若三角形?m与?n相似，则有：
m2?2m?1m2?1m2?2m?1??
n2?2n?1n2?1n2?2n?1据此例性质有：
m2?1m2?2m?1m2?2m?1?(m2?1)m?1??2?n2?1n2?2n?1n?2n?1?(n2?1)n?1m?1m?2m?1m?2m?1?(m?1)m?1?2?2?22n?1n?2n?1n?2n?1?(n?1)n?1所以
2222
m?1m?1，由此可得m?n，与假设m?n矛盾，即任两个三角形?m与?n(m,n?4,m?n)互不相似，?n?1n?1222所以存在无穷多个互不相似的三角形?n，其边长an,bn,cn为正整数且an,bn,cn成等差数列．
【方法技巧】1、这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子。
2、本例第（1）问的突破口如下：设1，p,q,符合条件要求，则有2p?1?q，由于p,q均为自然数，
?所以q为奇数，又q?p?1,设q?2k?1,k?N,则2p?1?(2k?1)，化简得p?2k?2k?1，可见，
222222p也为奇数，再设p=2m?1,m?N?,又得(2m?1)2?2k2?2k?1，化简得2m(m?1)?k(k?1)，故2m?k?1，且m?1?k，解得k?3,m?2.从而p=5,q=7,这样问题就得到了解决.
7.（2010·四川高考理科·Ｔ21）已知数列?an?满足a1?0,a2?2，且对任意m,n?N*都有
a2m?1?a2n?1?2am?n?1?2(m?n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn?a2n?1?a2n?1????(n?N*)证明：数列?bn?是等差数列；
n?1?（Ⅲ）设cn?(an?1?an???q?(q?0,n?N*)，求数列?cn?的前n项和Sn.
【命题立意】本小题主要考查数列的递推公式、等差数列的概念及求和公式，等比数列的求和公式，错位相减法数列求和等知识的应用，考查化归，分类整合等数学思想，灵活运用已知公式，以及推理的能力.
【思路点拨】（I）由题意，所给公式对m,n?N*都成立，故可给m，n赋值，结合a1?0,a2?2的值求解. （Ⅱ）要证数列?bn?为等差数列，由等差数列的定义，需证bn?1?bn为常数，
）?(a2n?1?a2n?1)?a2n?3?2a2n?1?a2n?1 即（a2（n?1）?1?a2（n?1）?1为常数，与所给公式
a2m?1?a2n?1?2am?n?1?2(m?n)2比较可知，令2m?1?2n?3，即m?n?2，便可解决问题.
（Ⅲ）需先确定数列?cn?的同项公式，即求an?1?an的表达式，由（Ⅱ）知
bn?a2n?1?a2n?1?8n?2，观察公式a2m?1?a2n?1?2am?n?1?2(m?n)2，保留a2n?1，故需出现an，可令
a2m?1?an或am?n?1?an，当2m?1?n时，am?n?1?a3n?1不便于计算，当m?n?1?n时，即m?1 时，
2a2m?1?a1，又a1?0，此时由a2m?1?a2n?1?2am?n?1?2(m?n)2得a1?a2n?1?2an?2(1?n)2，可求出
an?a2n?1?a1?(n?1)2，从而解决问题.需注意等比数列求和时注意公比是否为1，故需分类讨论. 2【规范解答】解：(I)由题意，令m?2,n?1，可得a3?2a2?a1?2?4?2?6， 令m?3,n?1a5?2a3?a1?8?12?8?20. （Ⅱ）当n?N,由已知，令n?2?m，
由已知可得a2n?3?a2n?1?2a2n?1?8， 即a2n?3?a2n?1?(a2n?1?a2n?1)?8， 也即a2（n?1）?1?a2（n?1）?1?(a2n?1?a2n?1)?8， ∴bn?1?bn?8. ∴数列?bn?是公差为8的等差数列.
（III）由(I)、（Ⅱ）可知数列?bn?是首项为b1?a3?a1?6，公差为8的等差数列. 则bn?6?(n?1)?8?8n?2， 即a2n?1?a2n?1?8n?2.
2 另令m?1可得a1?a2n?1?2an?2(n?1)，即an??a2n?1?a1?(n?1)2.则 2an?1?an?a2(n?1)?1?a128n?2?a?a?a?a?(n?1?1)2??2n?11?(n?1)2??2n?12n?1?2n?1??2n?1?2n ，
222??n?1∴cn?2nq.
当q?1时，sn?2?4?6?...?2n?n(n?1)，
012n?1当q?1，sn?2?q?4q?6?q?...?2n?q， ①
①式两边同乘q可得
qsn?2?q1?4?q2?6?q3?...?2(n?1)?qn?1?2n?qn，②
①?②得(1?q)sn?2(1?q?q?...?qn?1?2?1?(n?1)q?nq??2n?12?1?(n?1)q?nqn?1?1?qn??， n)?2nq ?2??2n?q?1?q1?qn∴sn?(1?q)2
q?1?n(n?1),?n?1综上，sn??2??1?(n?1)q?nq??.q?1
?(1?q)2?8.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ18）（本小题满分12分）
23n． 已知数列?an?的前n项和Sn?(n?n)g（Ⅰ）求liman；
n??Sn（Ⅱ）证明：
ana1a2n． ??…?＞322212n【命题立意】本题考查了数列的递推公式，极限的运算以及数列与不等式的证明综合运用知识。
23n再求极限。 【思路点拨】（Ⅰ）可以用Sn?Sn?1表示an，代入Sn?(n?n)g（Ⅱ）结合不等式的放缩法证
明。
【规范解答】（Ⅰ）limanS?Sn?1SS?limn?lim(1?n?1)?1?limn?1, SnSnSnSn limSn?1n?111a2?lim??,所以，limn?. Snn?133Sn3a1?S1?6?3, 21a1a2aS1S2?S1Sn?Sn?1当n>1时，2 ?2?...?n???...?222212n12n（Ⅱ）当n=1时，