考点8、数列的综合应用
1. （2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形， 再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去 .设Sn为前n个圆的面积之和，则limSn?（ ）
n??A．2?r2 B. ?r2 C.4?r2 D.6?r2
【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从小到大的顺序排列构造一个等比数列?an?，由公比q?(0,1)知limSn?n??83a1 1?q【规范解答】选C，设正六边形第n个内切圆的半径为rn，面积为an，则
rn?133，从而an?1=an，?cos300?4rn2?r2a13322由a1??r，q?，q?(0,1)知?an?是首项为?r，公比为的等比数列。所以limSn?==4?r.
n??1?q1?34442【方法技巧】对于等比数列?an?，若公比q?1，则其前n项和Sn当n趋向于正无穷大时极限存在且
limSn?n??a1。 1?qn??123???n?2n?1??234???n?1n1??2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在n行n列矩阵?345???n12?中，记位于第i行
??????????????????????????n12???n?3n?2n?1???第j列的数为aij(i,j?1,2???,n)．当n?9时，a11?a22?a33?????a99? ． 【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．
【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时aij(i,j?1,2???,n)对应的数，再求解． 【规范解答】45．当n?9时，a11?a22?a33?????a99? 1+3+5+7++9+2+4+6+8=45. 【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．
3?1?an?1?2?1?an?13.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列?an?满足: a1?, , ang?an?1?0?n?1?；
21?an1?an?1数列?bn?满足：bn =an?12?an2（n≥1）. (Ⅰ)求数列?an?，?bn?的通项公式;
(Ⅱ)证明:数列?bn?中的任意三项不可能成等差数列.
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．
2【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列?cn?满足：cn?1?an，先求?cn?的通项公式，再求?an?的通项公式，最
后求?bn?的通项公式。
(Ⅱ)用反证法证明。 【规范解答】
223(1?an2)，令cn?1?an2，则cn?1?cn，又c1?1?a12?，所以数列?cn?是3343232n?1321以为首项，为公比的等比数列，即cn?g()，故an2?1?g()n?1。又a1?>0，angan?1?0，故4343432(Ⅰ)由题意可知： 1?an?1?232an?(?1)n?11?g()n?1，
433232n?112n?1bn?an?12?an2=[1?g()n]?[1?g()]=g()。
434343(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列?bn?存在三项br，bs，bt(r?s?t)按某种顺序构成等差数列，由于数列?bn?是以
12为首项，为公比的等比数列，于是一定有br?bs?bt， 则只能有2bs?br?bt成立，即：431212122gg()s?1?g()r?1?g()t?1，两边同乘以3t?121?r可得： 4343432g2s?r3t?s?3t?r?2t?r，由于r?s?t，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。
故数列?bn?中的任意三项不可能成等差数列。 【方法技巧】
已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。 4.（2010·重庆高考理科·Ｔ21）在数列?an?中，a1=1，an?1?can?c（1）求?an?的通项公式；
（2）若对一切k?N*有a2k?a2k?1，求c的取值范围。
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.
n?1 ?2n?1??n?N*?，其中实数c?0。
【思路点拨】（1）先求出数列?an?的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，
2222【规范解答】（1）【方法1】：由a1?1，a2?ca1?c?3?3c?c?(2?1)c?c，
a3?ca2?c2?5?8c3?c2?(32?1)c3?c2，
a4?ca3?c4?7?15c4?c3?(42?1)c4?c3，猜测an?(n2?1)cn?cn?1（n?N*），
下面用数学归纳法证明 当n=1时，等式成立；
2kk?1假设当n=k时，等式成立，即ak?(k?1)c?c，则当n=k+1时，
ak?1?cak?ck?1(2k?1)?c[(k2?1)ck?ck?1]?ck?1(2k?1)
?(k2?2k)ck?1?ck?[(k?1)2?1]ck?1?ck
2nn?1*综上可知，an?(n?1)c?c对任何n?N都成立.
【方法2】：由原式令bn?an?1an??(2n?1)， cn?1cnan1，则b1?，bn?1?bn?(2n?1)，因此对n?2有 cncbn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1
?（2n?1）?(2n?3)???3?11?n2?1? cc2nn?1因此，an?(n?1)c?c，n?2。又当n=1时上式成立。 2nn?1*因此，an?(n?1)c?c，n?N。
（2）【方法1】：由a2k?a2k?1，得
[(2k)2?1]c2k?c2k?1?[(2k?1)2?1]c2k?1?c2k?2
因c2k?2?0，所以(4k2?1)c2?(4k2?4k?1)c?1?0
*解此不等式得：对一切k?N，有c?ck或c?ck，其中
?(4k2?4k?1)?(4k2?4k?1)2?4(4k2?1) ck?22(4k?1)2222(4k?4k?1)?(4k?4k?1)?4(4k?1)? ck?2(4k2?1)易知limck?1（因为ck的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是
k??8；用放缩法得：?1）8(4k2?4k?1)2?4(4k2?1)?(4k2?1)2?4(4k2?1)?4 (4k2?4k?1)?4k2?18k2?4k??1， ?4k?1，所以ck?2(4k2?1)8k2?22因此由c?ck对一切k?N成立得c?1； 又ck??*?2(4k2?4k?1)?(4k2?4k?1)2?4(4k2?1)*?0，易知ck?单调递增，故ck??c1?对一切k?N*成立，
因此由c?ck?对一切k?N成立得：
1?131?13c?c1???)U[1,??). ，从而c的取值范围为(??,?66【方法2】：由a2k?a2k?1，得[(2k)?1]c因c2k?222k?c2k?1?[(2k?1)2?1]c2k?1?c2k?2，
?0，所以4(c2?c)x2?4cx?c2?c?1?0对k?N*恒成立.
222记f(x)?4(c?c)x?4cx?c?c?1，下分三种情况讨论。
（i）当c?c?0即c?0或c?1时，代入验证可知只有c?1满足要求 （ii）当c无解。
（iii）当c?c?0，即c?0或c?1时，抛物线y?f(x)开口向上，其对称轴x?222?c?0时，抛物线y?f(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，f(k)?0，不符合题意，此时
1必在直线x?1的左
2(1?c)??)上是增函数。 侧，因此，y?f(x)在[1,所以要使f(k)?0对k?N恒成立，只需f(1)?0即可。
2*由f(1)?3c?c?1解得c??1?13?1?13或c? 661?13或c?1 61?13)U[1,??). 6结合c?0或c?1得c??综合以上三种情况，c的取值范围为(??,?【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；