课时作业4 函数及其表示
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A．f(x)＝e，g(x)＝x
lnxx2－4
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
x＋2
sin2xC．f(x)＝，g(x)＝sinx
2cosxD．f(x)＝|x|，g(x)＝x
解析：A，B，C的定义域不同，所以答案为D. 2．若函数y＝
2
mx－1
的定义域为R，则实数m的取值范围是( D )
mx＋4mx＋3
2
?3?A.?0，? ?4??3?C.?0，? ?4?
解析：∵函数y＝2
?3?B.?0，? ?4??3?D.?0，? ?4?
mx－122
的定义域为R，∴mx＋4mx＋3恒不为0.当m＝0时，mxmx＋4mx＋3
32
＋4mx＋3＝3满足题意；当m≠0时，Δ＝16m－12m<0，解得0
4
?0，3?. ?4???
3．(2019·广东珠海模拟)已知f(x)＝lgx，则f(2)＝( A ) 1
A.lg2 51
C.lg2 3
5
1B.lg5 21D.lg3 2
1
解析：解法一：由题意知x＞0，
1115
令t＝x，则t＞0，x＝t，∴f(t)＝lgt＝lgt，
55511
即f(x)＝lgx(x＞0)，∴f(2)＝lg2，故选A.
5515
解法二：令x＝2，则x＝2，
511
∴f(2)＝lg2＝lg2，故选A.
55
4．已知函数f(x)＝1－log2x的定义域为[1,4]，则函数y＝f(x)·f(x)的值域是( C ) A．[0,1]
B．[0,3]
2
?1?C.?－，1? ?8?
2
2
?1?D.?－，3? ?8?
2
2
解析：对于y＝f(x)·f(x)，由函数f(x)的定义域是[1,4]，得1≤x≤4，且1≤x≤4，解得1≤x≤2，故函数y＝f(x)·f(x)的定义域是[1,2]，易得y＝f(x)·f(x)＝1－3log2x3?3?2122
＋2log2x，令t＝log2x，则t∈[0,1]，y＝1－3t＋2t＝2?t－?－，故t＝时，y取最小值
4?4?81?1?－；t＝0时，y取最大值1，故所求函数的值域是?－，1?，故选C.
8?8?
?2－3，x＞0，?5．(2019·河南濮阳模拟)若f(x)＝?
??gx，x＜0
x
是奇函数，则f(g(－2))的值为
( C )
55
A. B．－ C．1 D．－1 22
??2－3，x＞0，解析：∵f(x)＝?
?gx，x＜0?
x
是奇函数，
1
∴x＜0时，g(x)＝－x＋3，
21
∴g(－2)＝－－2＋3＝－1，
2
f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝－
故选C.
1
－1＋3＝1， 2
??0，x≤0，
6．(2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝?x－x?2－2，x＞0，?
则满足f(x－2)＞f(x)的x2
的取值范围是( C )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2
解析：由题意，x＞0时，f(x)递增，故f(x)＞f(0)＝0，又x≤0时，x＝0，故若f(x－2)＞f(x)，则x－2＞x，且x－2＞0，解得x＞2或x＜－2，故选C.
2
2
2
2
7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( C )
A．－1 C．6
当1＜x≤2时，f(x)＝x－2，
又∵y＝x－2，y＝x－2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续， ∴f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6.
?，x≤1，?2
8．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝?
?x＋1，x＞1，?
|x－a|
3
3
3
B．1 D．12
解析：由题意知，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
若f(1)是f(x)的最小值，则
实数a的取值范围为( C )
A．[－1,2) C．[1,2]
?，x≤1，?2
?解析：函数f(x)＝
?x＋1，x＞1，?
|x－a|
B．[－1,0] D．[1，＋∞)
若x＞1，则f(x)＝x＋1＞2，易知y＝2
|x－a|
在(a，
＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，
若a＜1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意； 若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值， 只需2
a－1
≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.
x综上可得a的取值范围是[1,2]，故选C.
9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝4－4＋ln(x＋4)的定义域为(－4,1]__．
??4－4≥0，
解析：要使函数f(x)有意义，需有?
?x＋4＞0，?
x
解得－4＜x≤1，即函数f(x)的定义
域为(－4,1]．
?2，x≤0，?
10．设函数f(x)＝?
??|log2x|，x＞0，
x
???12?
则使f(x)＝的x的集合为?－1，2，? .
22????
1x解析：由题意知，若x≤0，则2＝，解得x＝－1；
2111
若x＞0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－.
222故x的集合为?－1，2，
????
?2?
?. 2??
11．记函数f(x)＝2－
x＋3
的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定x＋1
?1?义域为B.若B?A，则实数a的取值范围为(－∞，－2]∪?，1? . ?2?
3
解析：由已知得A＝{x|x＜－1或x≥1}，
B＝{x|(x－a－1)·(x－2a)＜0}，
由a＜1得a＋1＞2a，∴B＝{x|2a＜x＜a＋1}． ∵B?A，∴a＋1≤－1或2a≥1， 1
∴a≤－2或≤a＜1.
2
1
∴a的取值范围为a≤－2或≤a＜1.
2
12．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
12
1124
18
2
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x； 当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，
12
12
2
f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)]＝4(x＋2).
2
2
??－2x＋1，x∈[－1，0，
所以f(x)＝?x，x∈[0，1]，
1?－?2x－1，x∈1，2].
2
2
2
4x＋2
2
，x∈[－2，－1，
4