课时作业4 函数及其表示
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A．f(x)＝e，g(x)＝x
lnxx2－4
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
x＋2
sin2xC．f(x)＝，g(x)＝sinx
2cosxD．f(x)＝|x|，g(x)＝x
解析：A，B，C的定义域不同，所以答案为D. 2．若函数y＝
2
mx－1
的定义域为R，则实数m的取值范围是( D )
mx＋4mx＋3
2
?3?A.?0，? ?4??3?C.?0，? ?4?
解析：∵函数y＝2
?3?B.?0，? ?4??3?D.?0，? ?4?
mx－122
的定义域为R，∴mx＋4mx＋3恒不为0.当m＝0时，mxmx＋4mx＋3
32
＋4mx＋3＝3满足题意；当m≠0时，Δ＝16m－12m<0，解得0 4 ?0，3?. ?4??? 3．(2019·广东珠海模拟)已知f(x)＝lgx，则f(2)＝( A ) 1 A.lg2 51 C.lg2 3 5 1B.lg5 21D.lg3 2 1 解析：解法一：由题意知x＞0， 1115 令t＝x，则t＞0，x＝t，∴f(t)＝lgt＝lgt， 55511 即f(x)＝lgx(x＞0)，∴f(2)＝lg2，故选A. 5515 解法二：令x＝2，则x＝2， 511 ∴f(2)＝lg2＝lg2，故选A. 55 4．已知函数f(x)＝1－log2x的定义域为[1,4]，则函数y＝f(x)·f(x)的值域是( C ) A．[0,1] B．[0,3] 2 ?1?C.?－，1? ?8? 2 2 ?1?D.?－，3? ?8? 2 2 解析：对于y＝f(x)·f(x)，由函数f(x)的定义域是[1,4]，得1≤x≤4，且1≤x≤4，解得1≤x≤2，故函数y＝f(x)·f(x)的定义域是[1,2]，易得y＝f(x)·f(x)＝1－3log2x3?3?2122 ＋2log2x，令t＝log2x，则t∈[0,1]，y＝1－3t＋2t＝2?t－?－，故t＝时，y取最小值 4?4?81?1?－；t＝0时，y取最大值1，故所求函数的值域是?－，1?，故选C. 8?8? ?2－3，x＞0，?5．(2019·河南濮阳模拟)若f(x)＝? ??gx，x＜0 x 是奇函数，则f(g(－2))的值为 ( C ) 55 A. B．－ C．1 D．－1 22 ??2－3，x＞0，解析：∵f(x)＝? ?gx，x＜0? x 是奇函数， 1 ∴x＜0时，g(x)＝－x＋3， 21 ∴g(－2)＝－－2＋3＝－1， 2 f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝－ 故选C. 1 －1＋3＝1， 2 ??0，x≤0， 6．(2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝?x－x?2－2，x＞0，? 则满足f(x－2)＞f(x)的x2 的取值范围是( C ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 2 解析：由题意，x＞0时，f(x)递增，故f(x)＞f(0)＝0，又x≤0时，x＝0，故若f(x－2)＞f(x)，则x－2＞x，且x－2＞0，解得x＞2或x＜－2，故选C. 2 2 2 2 7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( C ) A．－1 C．6 当1＜x≤2时，f(x)＝x－2， 又∵y＝x－2，y＝x－2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续， ∴f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6. ?，x≤1，?2 8．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝? ?x＋1，x＞1，? |x－a| 3 3 3 B．1 D．12 解析：由题意知，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 若f(1)是f(x)的最小值，则 实数a的取值范围为( C ) A．[－1,2) C．[1,2] ?，x≤1，?2 ?解析：函数f(x)＝ ?x＋1，x＞1，? |x－a| B．[－1,0] D．[1，＋∞) 若x＞1，则f(x)＝x＋1＞2，易知y＝2 |x－a| 在(a， ＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减， 若a＜1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意； 若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值， 只需2 a－1 ≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2. x综上可得a的取值范围是[1,2]，故选C. 9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝4－4＋ln(x＋4)的定义域为(－4,1]__． ??4－4≥0， 解析：要使函数f(x)有意义，需有? ?x＋4＞0，? x 解得－4＜x≤1，即函数f(x)的定义 域为(－4,1]． ?2，x≤0，? 10．设函数f(x)＝? ??|log2x|，x＞0， x ???12? 则使f(x)＝的x的集合为?－1，2，? . 22???? 1x解析：由题意知，若x≤0，则2＝，解得x＝－1； 2111 若x＞0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－. 222故x的集合为?－1，2， ???? ?2? ?. 2?? 11．记函数f(x)＝2－ x＋3 的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定x＋1 ?1?义域为B.若B?A，则实数a的取值范围为(－∞，－2]∪?，1? . ?2? 3 解析：由已知得A＝{x|x＜－1或x≥1}， B＝{x|(x－a－1)·(x－2a)＜0}， 由a＜1得a＋1＞2a，∴B＝{x|2a＜x＜a＋1}． ∵B?A，∴a＋1≤－1或2a≥1， 1 ∴a≤－2或≤a＜1. 2 1 ∴a的取值范围为a≤－2或≤a＜1. 2 12．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x. (1)求f(－1)，f(1.5)； (2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式． 解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0， 12 1124 18 2 f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－. (2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x； 当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]， 12 12 2 f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2； 当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)， f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2； 当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)]＝4(x＋2). 2 2 ??－2x＋1，x∈[－1，0， 所以f(x)＝?x，x∈[0，1]， 1?－?2x－1，x∈1，2]. 2 2 2 4x＋2 2 ，x∈[－2，－1， 4