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第2讲 数列的求和问题
[考情考向分析] 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．
热点一 分组转化法求和
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
例1 (2018·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}满足2an＋1－an＝2n＋3(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和． 解 (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为2an＋1－an＝2n＋3，
??2a2－a1＝5，所以?
?2a3－a2＝7，???a1＝1，所以?
?d＝2，?
*
??a1＋2d＝5，
所以?
?a1＋3d＝7，?
*
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N)．
(2)因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2
n－1
，
n－1
因为an＝2n－1，所以bn＝2推荐学习K12资料
－(2n－1)．
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设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2
nn－1
)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
1－2n?1＋2n－1?n2＝－＝2－1－n， 1－22
所以数列{bn}的前n项和为2－1－n(n∈N)．
思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．
跟踪演练1 已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x－dx－3<0的解集为(－1,3)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
a2
n2*
d??a＝2，
解 (1)由题意，得?3
－??a＝－3，
1
1
n??d＝2，
解得?
?a1＝1.?
故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)， 即an＝2n－1(n∈N)． (2)据(1)求解知an＝2n－1， 所以bn＝2＋2an＝2
an2n－1*
4
＋2(2n－1)＝＋4n－2，
2
n114?1－4?n?2＋4n－2?23n所以Sn＝(4＋4＋4＋…＋4)＋(2＋6＋10＋…＋4n－2)＝×＋ 221－42＝4
n＋1
22*
＋2n－(n∈N)． 63
热点二 错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
例2 (2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn(n∈N)，a1＋a3＝，a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anlg an，求数列{bn}的前n项和Tn. 推荐学习K12资料
*
S4S2
推荐学习K12资料 解 (1)由a1＋a3＝得，
S4S2
S2?1＋q2?2
a1＋a1q＝＝1＋q，
S2
2
所以a1＝1，
由a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项， 得a3－1－(a1－1)＝4[(a2－1)－(a1－1)]， 即a3－a1＝4(a2－a1)，
即q－1＝4(q－1)，即q－4q＋3＝0， 因为q≠1，所以q＝3，所以an＝3(2)bn＝anlg an＝(n－1)·3
2
2
2
n－1
(n∈N)．
*
n－1
lg 3，
n－1
所以Tn＝[0＋3＋2×3＋3×3＋…＋(n－1)×3
2
3
4
3
]lg 3，
3Tn＝[0＋3＋2×3＋3×3＋…＋(n－1)×3]lg 3， 两式相减得，－2Tn＝[3＋3＋3＋…＋33
3lg 3?3?n＝－－?n－?·3lg 3，
2?2?
3lg 3?n3?n*
所以Tn＝＋?－?·3lg 3(n∈N)．
4?24?
思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．
(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．
跟踪演练2 (2018·安庆模拟)在等差数列{an}中a4＝9，前三项的和为15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列?n?的前n项和Sn. ?3?解 由题意得?
?a1＋3d＝9，??an?
2
3
nn－1
3?1－3?lg 3n－(n－1)×3]lg 3＝－(n－1)·3lg
1－3
nn－1
??3a1＋3d＝15，
*
解得?
?a1＝3，???d＝2，
∴an＝2n＋1(n∈N)．
a1a2an3572n＋1
(2)Sn＝＋2＋…＋n＝＋2＋3＋…＋n，①
3333333
1352n＋1
Sn＝2＋3＋…＋n＋1，② 3333推荐学习K12资料
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1?2n＋12?11
①－②得，Sn＝1＋2?2＋3＋…＋n?－n＋1，
3?33?33∴Sn＝2－
n＋2
3
n(n∈N)．
*
热点三 裂项相消法求和
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于?
??anan＋1?
1??1?
?或??(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．
?anan＋2?
例3 (2018·天津市十二校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(n∈N)(a为常数，a≠0，a≠1)． (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋Sn，若数列{bn}为等比数列，求a的值； (3)在满足条件(2)的情形下，cn＝
23
*
an＋1
.若数列{cn}的前n项和为Tn，且对任意
(an＋1)(an＋1＋1)n∈N*满足Tn<λ2＋λ，求实数λ的取值范围．
解 (1)∵Sn＝a(Sn－an＋1)， ∴n＝1时，a1＝a.
n≥2时，Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，
∴Sn－Sn－1＝an＝a(Sn－Sn－1)－aan＋aan－1， ∴an＝aan－1，即
an＝a且 a≠0，a≠1， an－1
∴数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列， ∴an＝a(n∈N)．
(2)由bn＝an＋Sn得，b1＝2a，
n*
b2＝2a2＋a， b3＝2a3＋a2＋a.
∵数列{bn}为等比数列，
∴b2＝b1b3，(2a＋a)＝2a(2a＋a＋a)， 1
解得a＝.
2
2
2
2
3
2
?1?n＋1?2???
(3)由(2)知cn＝ 11???n＋1????n＋1＋1???2????2??????????
2
＝n n＋1?2＋1??2＋1?推荐学习K12资料
n