2013年安徽省高考数学试卷(理科) 下载本文

【解答】解:设

,∵OA1=a1=1,OA2=a2=2,A1B1∥A2B2,

∴A1B1是三角形OA2B2的中位线,∴故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S.

=

=,∴梯形A1B1B2A2的面积=3S.

∵所有AnBn相互平行,∴所有△OAnBn(n∈N)都相似,∴

*

,,

,…,

∵∴数列{∴

,∴,,….

=1+(n﹣1)×3=3n﹣2.

}是一个等差数列,其公差d=3,故

因此数列{an}的通项公式是故答案为

【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能,考查了推理能力和计算能力.

15.(5分)(2013?安徽)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是 ①②③⑤ (写出所有正确命题的编号). ①当0<CQ<时,S为四边形 ②当CQ=时,S为等腰梯形

③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R= ④当<CQ<1时,S为六边形 ⑤当CQ=1时,S的面积为

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【分析】由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误.

【解答】解:如图

=

当CQ=时,即Q为CC1中点,此时可得PQ∥AD1,AP=QD1=故可得截面APQD1为等腰梯形,故②正确;

由上图当点Q向C移动时,满足0<CQ<,只需在DD1上取点M满足AM∥PQ, 即可得截面为四边形APQM,故①正确; ③当CQ=时,如图,

延长DD1至N,使D1N=,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R,连接SR, 可证AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得C1R=,故正确;

④由③可知当<CQ<1时,只需点Q上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形,故错误;

⑤当CQ=1时,Q与C1重合,取A1D1的中点F,连接AF,可证PC1∥AF,且PC1=AF, 可知截面为APC1F为菱形,故其面积为AC1?PF=

=

,故正确.

故答案为:①②③⑤.

【点评】本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16.(12分)(2013?安徽)已知函数f(x)=4cosωx?sin(ωx+π.

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)(ω>0)的最小正周期为

(1)求ω的值;

(2)讨论f(x)在区间[0,

]上的单调性.

【分析】(1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期,求实数ω的值; (2)由于x是[0,f(x)在区间[0,

]范围内的角,得到2x+]上的单调性.

)=2)+

sinωx?cosωx+2,

cosωx

2

的范围,然后通过正弦函数的单调性求出

【解答】解:(1)f(x)=4cosωxsin(ωx+=

(sin2ωx+cos2ωx)+

=π,∴ω=1.

)+,

=2sin(2ωx+

所以 T=

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+因为0≤x≤当当

≤2x+≤2x+

,所以≤≤

≤2x+

时,即0≤x≤时,即

≤x≤

时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数,

]上单调减.

所以f(x)在区间[0,]上单调增,在区间[

【点评】本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的应用,注意三角函数值的变换,考查计算能力,常考题型.

17.(12分)(2013?安徽)设函数f(x)=ax﹣(1+a)x,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}

(Ⅰ)求I的长度(注:区间(a,β)的长度定义为β﹣α); (Ⅱ)给定常数k∈(0,1),当1﹣k≤a≤1+k时,求I长度的最小值. 【分析】(Ⅰ)解不等式f(x)>0可得区间I,由区间长度定义可得I的长度; (Ⅱ)由(Ⅰ)构造函数d(a)=

,利用导数可判断d(a)的单调性,由单调性可判

2

2

断d(a)的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得,通过作商比较可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)因为方程ax﹣(1+a)x=0(a>0)有两个实根x1=0,故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}, 因此区间I=(0,

(Ⅱ)设d(a)=

,则d′(a)=

),区间长度为

2

2

>0,

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令d′(a)=0,得a=1,由于0<k<1,

故当1﹣k≤a<1时,d′(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d′(a)<0,d(a)单调递减,

因此当1﹣k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得,

而=<1,故d(1﹣k)<d(1+k),

因此当a=1﹣k时,d(a)在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值,即I长度的最小值

为.

【点评】本题考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查

分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

18.(12分)(2013?安徽)设椭圆E:

的焦点在x轴上

(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;

(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上. 【分析】(1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出(2)设P(x0,y0),F1(﹣c,0),F2(c,0),其中

,解出即可;

.利用斜率的计算公式

和点斜式即可得出直线F1P的斜率

=

,直线F2P的方程为

.即

可得出Q

.得到直线F1Q的斜率

=

.利用F1Q⊥F1P,可得

=

解出点P的坐标.

.化为.与椭圆的方程联立即可

【解答】解:(1)∵椭圆E的焦距为1,∴,解得.

故椭圆E的方程为.

(2)设P(x0,y0),F1(﹣c,0),F2(c,0),其中

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