20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R） （1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；

（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．

四、选修4-2：矩阵与变换 21．（7分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1； （2）求矩阵C，使得AC=B．

五、选修4-4：坐标系与参数方程

22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（t为参

，B=

数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为

ρsin（θ﹣

）=m，（m∈R）

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； （2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

六、选修4-5：不等式选讲

23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4． （1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

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2015年福建省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）

1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（ ）

A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1}

D．?

【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案． 【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}， ∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}． 故选：C．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ） A．y=

B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x

【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．

B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数． C．y=cosx为偶函数．

D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．

3．（5分）若双曲线E：

=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E

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上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（ ） A．11 B．9

C．5

D．3

【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【解答】解：由题意，双曲线E：∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上， ∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6， ∴|PF2|=9． 故选：B．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．

4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x（万元） 支出y（万元）

根据上表可得回归直线方程

，其中

，据此估计，该社

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

=1中a=3．

区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A．11.4万元

B．11.8万元

C．12.0万元

D．12.2万元

【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可． 【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10， =（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8， 代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4， ∴回归方程为=0.76x+0.4，

把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8， 故选：B．

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【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．

5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A， 联立

，解得A（﹣1，）．

．

∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=故选：D．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）

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