第十章 排列、组合与概率

事件共分三种：必然事件记作U（在一定的条件下必然要发生的事件），不可能事件记作V（在一定的条件下不可能发生的事件）、随机事件记作A、B等（在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件）。

2.随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生具有一定的规律性，或称随机事件频率的稳定性，现在引出概率的统计定义：在n次重复进行同一试验时，事件A发生的次数为m次，则称事件A发生的频率m/n为事件A的概率，记作P（A）。

由于随机事件A在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n次试验中发生的次数（称为频数）m可能等于0（n次试验中A一次也不发生），可能等于1（n次试验中A只发生一次），??也可能等于n（n次试验中A每次都发生）。我们说，事件A在n次试验中发生的频数m是一个随机变量，它可能取得0、1、2、?、n这n+1个数中的任一个值。于是，随机事件A的频率P（A）=m/n也是一个随机变量，它可能取得的值介于0与1之间，即0≤P（A）≤1。特别，必然事件的概率为1，即P（U）=1；不可能事件的概率为0，即P（V）=0。这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性。然而，经验表明，当试验重复多次时随机事件的频率又具有稳定性。除教材中抛掷钱币的实验结果外，这里我们再举一个例子。

例 进行这样的试验：从0、1、2、?、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”。在这个随机数表里，可以发现0、1、2、?、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近。现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000个随机数，统计每100个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果：

3.利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的。在下一节中介绍第二种求随机事件概率的方法。

四、巩固新课

1.指导学生阅读课本，进一步了解随机事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数，以加深对概率概念实质的理解。

2.提问：

（1）试举出两个必然事件和不可能事件的实例。 （2）不可能事件的概率为什么是0？ （3）必然事件的概率为什么是1？

（4）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？ 五、小结

随机事件在现实世界中是广泛存在的。在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做这一事件的概率，记作P（A）。

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第十章 排列、组合与概率

且0≤P（A）≤1。 六、布置作业

1.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）如果a，b都是实数，那么a·b=b·a。 （2）八月的北京气温在摄氏零下40℃。

（3）校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字10个。

2.两位同学各自进行一次抛掷硬币的实验，在抛掷1000次的情况下，统计一下出现国徽面向上的次数m，然后再计算m/1000，以求得抛掷硬币事件的统计概率，再把两位同学做出的结果作一比较。

等可能事件的概率

【教学目的】通过等可能事件概念的讲解，使学生得到一种较简单的、较现实的计算事件概率的方法。

【教学重点和难点】熟练、准确地掌握有关排列、组合的知识是顺利求出等可能事件概率的重要方面。 【教学过程】

一、复习提问

1.上节课布置作业的第2题，每位同学得到的结果是否接近于同一个小于1的正数0.5？你们是否已经感觉到计算事件概率的繁琐性？大量重复的试验是否可以避免？ 2.上抛一个刻着1、2、3、4、5、6字样的正六面体方块出现字样为“3”的事件的概率是多少？出现字样为“0”的事件的概率是多少？上抛一个刻着六个面都是“P”字样的正方体方块出现字样为“P”的事件的概率是多少？

二、新课引入

随机事件的概率，一般可能通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件，也可能不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。这种计算随机事件概率的方法，比经过大量试验得出来的概率，有更简便的运算过程；有更现实的计算方法。

这一节课程的学习，对有关的排列、组合的基本知识和基本思考问题的方法有较高的要求，因此对于排列、组合还不十分熟悉的同学应当先补上这一课。

三、进行新课

1.等可能事件的意义：对于有些随机试验来说，每次试验只可能出现有限个不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的（或叫机会均等原理）。

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第十章 排列、组合与概率

例如，从52张扑克牌中任意抽取一张（记作事件A），那么不论抽到哪一张都是机会均等的，也就是等可能性的，不论抽到哪一张花色的红心的牌（记作事件B）也都是等可能性的；又不论抽到哪一张印有“A”字样的牌（记作事件C）也都是等可能性的。下面我们给出事件A、B、C发生的概率的概念和计算方法。

2.等可能性事件概率的计算方法（概率的古典定义）：如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P（A）是m/n（m≤n）。

在上例中：P（A）=52/52=1， P（B）=13/52=1/4， P（C）=4/52=1/13。

这里再介绍一种概率古典定义的叙述方法：若事件A1，A2，A3，?，An发生的机会是相同的，则称它们为等可能性事件，其中Ai（i=1，2，?，n）称为基本事件（n为基本事件总数），如果事件A中包含的结果有其中的m种，那么事件A的概率P（A）=m/n，即

四、小结

用这节中的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率，并不需要通过大量重复的试验。因此，从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到的方法简便得多，并且更具有实用价值。

五、布置作业

1.把100张已编号的卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算： （1）卡片号是偶数的概率； （2）卡片号是5的倍数的概率； （3）卡片号是质数的概率； （4）卡片号是111的概率； （5）卡片号是1的概率；

（6）卡片号是从1号到100号中任意一号的数的概率。

2.一个均匀材料做的正方体玩具，各个面上分别标以数1、2、3、4、5、6。 （1）将这玩具抛掷1次，朝上的一面出现偶数的概率是多少？ （2）将这玩具抛掷2次，朝上的一面的数之和为7的概率是多少？

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第十章 排列、组合与概率

（3）将这玩具抛掷3次，朝上的一面的数之和为10的概率是多少？

3.某城市的电话号码由六个数字组成，每个数字可以是从0到9这十个数字中的任一个，计算电话号码由六个不同数字组成的概率是多少？

概率的加法公式

【教学目的】使学生了解概率加法公式的应用范围和具体运算法则。 【教学重点和难点】互斥（或称互不相容）事件的概念。 【教学过程】

一、复习

1.在“集合论”中集合之间的交或并分别有哪些运算？ 2.在“集合论”中集合间的交、并、余的对偶律是什么？ 二、新课引入

对于一些较复杂的事件的概率，直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的。为了将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算，首先要学会将所考虑的事件作出相应的正确运算。这一节先讲事件的和的意义。然后再讲对于怎样的事件可应用哪一种概率加法公式计算事件的概率。

三、进行新课 1.事件的和的意义

对于事件A和事件B是可以进行加法运算的。A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生。例如抛掷一个六面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A；如果掷出的点数不大于3，记作事件B，那么事件A+B就是表示掷出的点数为1、2、3、5当中的一个。

事件“A1+A2+…+An”表示这样一个事件，在同一试验中，A1，A2，?，An中至少有一个发生即表示它发生。

2.互斥事件的意义

不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。如从52张扑克牌中抽出一张牌。设事件A为抽到一张红心，事件B表示抽到一张红方块。则事件A与B是互斥的。

3.互斥事件的概率加法公式 如果事件A，B互斥，那么： P（A+B）=P（A）+（B）公式1 四、巩固新课

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