数字通信实验报告
武汉理工大学
数字通信实验报告
班级： 电子与通信工程143班 姓名： 王富贵 学号： 1049721403190 教师： 吕 锋 日期： 2015.04.3
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实验一
1、 实验项目
基于MATLAB的离散无记忆高斯信源的失真-率函数曲线（图3.4-2）仿真； 2、 实验目的
(1)、理解信息率失真函数的定义与物理意义；
(2)、分析离散信源在误码失真下的信息率失真函数表达式； (3)、提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力； (4)、使用相关软件进行曲线的绘制。 3、 实验内容与理论依据 实验内容：
分析离散信源在误码失真下的信息率失真函数表达式，并绘制曲线图。 理论依据：
信息率失真函数的定义 研究在限定失真下为了恢复信源符号所必需的信息率，简称率失真理论。信源发出的符号传到信宿后，一般不能完全保持原样，而会产生失真。要避免这种失真几乎是不可能，而且也无必要，因为信宿不管是人还是机器，灵敏度总是有限的，不可能觉察无穷微小的失真。倘若在处理信源符号时允许一定限度的失真，可减小所必需的信息率，有利于传输和存储。率失真理论就是用以计算不同类型的信源在各种失真限度下所需的最小信息率。因此，这一理论是现代所有信息处理问题的理论基础。
香农首先定义了信息率失真函数R(D)，并论述了关于这个函数的基本定理。 定理指出：在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息传输率可压缩到R(D)值，这就从理论上给出了信息传输率与允许失真之间的关系，奠定了信息率失真理论的基础。信息率失真理论是进行量化、数模转换、频带压缩和数据压缩的理论基础。
离散信源：信源是信息的来源，是产生消息、时间离散的消息序列以及时间连续的消息的来源。信源输出的消息都是随机的，因此可以用概率来描述其统计特性。信源在数学上可以用随机变量、随机序列和随机过程来表示。信息是抽象的，信源则是具体的。离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且符号之间是无关的，即是统计独立的。同时，由于是平稳信源，每个随机变量的统计特性都相同。 信息率失真函数
R?D?
pi 对给定的一个信源随机变量，服从概率分布，
d(ui,vj)为失真测度，定义
信息率失真函数
RI?D?为：R(D)?IminI?ui;vj? Q?vj,ui?,Ed(ui,vj)?D其中
I?ui,vj?为
ui与其复制
vj的互信息，min是对所有满足以下性质的条件概率
P?vj|ui?取值。在给定的信源概率分布
p(ui,vj)?p(ui)P(ui|vj)p?ui?及条件概率
P?vj|ui?的乘积所得的
联合分布下的平均失真
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D?d???p(ui,vj)d(ui,vj)???piPjidij.
ijij 在讨论信息率失真函数时，考虑到信源与信宿之间有一个无失真信道，称它为试验信道，对离散信源可记为Pji，对限失真信源这一试验信道集合可定义为：
?P??Pji:D?d?D???ij?piPjidij?.
? 根据前面在互信息中已讨论过的性质：
I(U;V)?I(pi;Pji)
且互信息是
pi的上凸函数，其极限值存在且为信道容量：
C?maxI(pi;Pji)
pi 这里，我们给出其对偶定义：
R(D)?minI(U;V)?minI(pi;Pji)
Pji?PDPji?PD 即互信息是Pji的下凸函数。其极限值存在且为信息率失真函数。
它还存在下列等效定义[1]：
对给定的一个失真度D，率失真函数R（D）定义为：
R?D??inf?R:?R,D??率失真区域?
对给定的一个码率R，率失真函数D（R）定义为：
D?R??inf?D:?R,D??率失真区域?
直观地结实，率失真函数R（D）是在信源序列与复制序列的失真不超过D的条件下最小可能的码率（或信源最大可能的压缩率）。相对偶地，失真率函数D（R）是给定码率（压缩率）R条件所能达到的最小失真。至此，我们已给定R(D)H(U)?R(0)连续离散是下凸函数函数一个初步描述。
0D
由定义，R(D)函数是在限定失真为最大允许失真为D时信源最小信息速率，它是通过改变试验信道pji特性（实际上是信源编码）来达到的。所以R(D)是表示不同D值时对应的理论上最小信息速率值。 然而对于不同的实际信源，存在
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pji并可以求解出不同的信息率
失真R'(D)函数，它与理论上最佳的R(D)之间存在着差异，它反映了不同方式信源编码性能的优劣，这也正是R(D)函数的理论价值所在。特别对于连续信源，无失真是毫无意义的，这时R(D)函数具有更大的价值。
信息率失真函数的迭代计算
首先需要指出的是，达到率失真函数的条件概率P?vj|ui?及输出字母概率分布
q?vj?都不一定是唯一的。
具体迭代算法可以按如下步骤进行[9]：
(1)先假定一个负数作为S1，选定初始转移概率p1?bj/ai??1组成r?s?r?s?阶初始矩阵。
(2)把选定的初始转移概率p?bj/ai?代入表达式p?bj???p?ai?p?bj/ai?1?i?1r中，得到相应的p1?bj?，然后用p1?bj?代入表达式p??bj/ai??p?bj?esjj?1Sdai,bj????p?b?eSdai,bj?中，得到相应的p2?bj/ai?。
(3)再用p?bj/ai?代入表达式p?bj???p?ai?p?bj/ai?中，得到相应的
2?i?1rp2?bj?，然后用p2?bj?代入表达式p??bj/ai??p?bj?esjj?1Sdai,bj????p?b?eSdai,bj?中，得到相应的
p3?bj/ai?。
(4)以此推类进行下去，直到Drs?n??S1????p?ai?p?n??bj/ai?d?ai,bj?与
i?1j?1rsD?n?1??S1????p?ai?p?n?1??bj/ai?d?ai,bj?相当接近，其差别已在允许的精度范
i?1j?1围之内，以及R?S1????p?ai?p?n?i?1j?1rs?n??bj/ai?logp??b/a?与p???b?n?jinj 页 第 4
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?n?1?R?S1????p?ai?pi?1j?1rs?n?1??bj/ai?logp?n?1?p?n?1?b/a? ??b?jij相当接近，其差别也在允许的精度范围之内，则R?n??S1?或R?n?1??S1?就是这个S1值所对应的信息率失真函数R?S1?的近似值。
(5)再选定一个略大一些的负数作为S2值，重复以上的迭代计算过程，得到
S2值的信息率失真函数R?S2?的近似值。
(6)这种过程一直到信息率失真函数R?Smax?逼近于零为止，随着
S1,S2,,Smax的选定就可得到信息率失真函数R?S?的曲线。
4、 MATLAB程序框图与代码
function[]=RateDF(Pa,d,S) format long
d=input('失真矩阵d=');
Pa=input('输入概率分布 Pa='); r=input('输入信源数r='); s=input('输出信源数s='); S=input('拉式乘子S=');
times=input('迭代次数times='); [r,s]=size(d);
if(length(find(Pa<=0))~=0)
error('Not a prob.vector,shoud be positive component!'); end
if(abs(sum(Pa)-1)>10e-10)
error('Not a prob.vector,component do not add up to 1!') end
if(r~=length(Pa))
error('The parameters do not match!'); end pba=[]; RS=[]; DS=[]; m=1;
for z= 1: times
Pba(1:r,1:s,1)=1/s*ones(r,s); for j=1:s
Pb(j,1)=0; for i=1:r
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Pb(j,1)=Pb(j,1)+Pa(i)*Pba(i,j,1); end end for i=1:r
temp(i)=0; for j=1:s
temp(i)=temp(i)+Pb(j,1)*exp(S(m)*d(i,j)); end end for i=1:r
for j=1:s
Pba(i,j,2)=(Pb(j,1)*exp(S(m)*d(i,j)))/temp(i); end D(1)=0; for i=1:r
for j=1:s
D(1)=D(1)+Pa(i)*Pba(i,j,1)*d(i,j); end end R(1)=0; for i=1:r
for j=1:s
if(Pba(i,j,1)~=0)
R(1)=R(1)+Pa(i)*Pba(i,j,1)*log2(Pba(i,j,1)/Pb(j,1)); end end end n=2; while(1) for j=1:s
Pb(j,n)=0; for i=1:r
Pb(j,n)=Pb(j,n)+Pa(i)*Pba(i,j,n); end end for i=1:r
temp(i)=0; for j=1:s
% disp('SM:');disp(S(m));
temp(i)=temp(i)+Pb(j,n)*exp(S(m)*d(i,j)); end end for i=1:r
for j=1:s
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if(temp(i)~=0)
Pba(i,j,n+1)=(Pb(j,n)*exp(S(m)*d(i,j)))/temp(i); end end end D(n)=0; for i=1:r
for j=1:s
D(n)=D(n)+Pa(i)*Pba(i,j,n)*d(i,j); end end R(n)=0; for i=1:r
for j=1:s
if(Pba(i,j,n)~=0)
R(n)=R(n)+Pa(i)*Pba(i,j,n)*log2(Pba(i,j,n)/Pb(j,n)); end end end
%disp('E1:');disp(abs(R(n)-R(n-1))); %disp('E2:');disp(abs(D(n)-D(n-1))); if(abs(R(n)-R(n-1))<=10^(-7))
if(abs(D(n)-D(n-1))<=10^(-7)) break; end end n=n+1; end
S(m+1)=S(m)+0.5; if(abs(R(n)<10^(-7))) end
pba=[Pba(:,:,:)]; RS=[RS R(n)]; DS=[DS D(n)]; m=m+1; end end
[k,l,q]=size(pba); Pba=pba(:,:,q); Rmin=min(RS); Dmax=max(DS); Smax=S(m-1);
disp('输入正确，迭代结果如下：');
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disp('最小信息率Rmin:');disp(Rmin); disp('最大Dmax:');disp(Dmax);
disp('最佳转移概率分布Pba:');disp(Pba); disp('最大拉式乘子Smax:');disp(Smax); plot(DS,RS)
xlabel('允许的失真度D')
ylabel('信息率失真函数R(D)')
title('信息率失真函数R(D)的曲线图')
5、 实验结果及分析
某二元离散无记忆信源?1??X??0? ????P?X???1212?其失真矩阵为D???01? ??10?求该信源的Dmax，Dmin和R?D?函数。 解：二元对称信源，其失真矩阵为?可计算得：
?01? ??10?Dmin?0，Dmax?12
根据参量表达式可求得：
?1?H?D???R?D????0??0?D?1D?212
这里，H?D???Dlog2D??1?D?log2?1?D? MATLAB运行结果如下： 输入： d=[0 1;1 0]; Pa=[0.5 0.5]; r=2; s=2; S=-99.5;
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times=100; 输出：
很好！输入正确，迭代结果如下： 最小信息率Rmin: 0 最大Dmax:
0.50000000000000 最佳转移概率分布Pba:
0.62136760936669 0.37863239063331 0.37645018769302 0.62354981230698 最大拉式乘子Smax: 0 ans =
0.62136760936669 0.37863239063331 0.37645018769302 0.62354981230698 信息率失真函数R?D?曲线图如“图4-1”所示：
6、 实验结论
待定常数S就是R?D?函数的斜率，根据R?D?函数的S参量表述理论，也可得到R?D?函数曲线，最终完成信息率失真函数迭代计算过程。在求解信息率失真函数时，达到信息率失真函数R?D?时的转移概率及信宿的概率分布也不一定是唯一的。
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实验二
一、实验项目
1、设定符号错误概率为10的负5次方，基于MATLAB仿真分析无记忆调制的最佳接收机性能。
二、实验目的
1、通过实验，进一步巩固在课堂上面学到的理论知识, 学习并理解加性高斯白噪声信道的最佳接收机
2、在实验过程中，对理论知识和公式进行理解，转化为相应的matlab程序语言，增强matlab编程的能力；
三、实验内容与理论依据
（1）最佳接收机
评估各种无记忆调制方法的错误概率
① 二进制调制的错误概率设两个信号波形是s1(t)?g(t)和 s2(t)?-g(t) (称为双极性信号）。在给定发送的情况下，s1(t)的错误概率是r<0的概率，则
00(r??b)21p(e|s1)??p(r|s1)dr?exp[?]dr?????2?N0?12???2?b/N0??e?x/2dx?212???2?b/N0e?x/2dx2?Q[
2?b]N0
可以倒推出，平均错误概率是：
Pb?2?b11P(e|s1)?P(e|s2)?Q[]22N0
设两个信号波形是正交信号，则对应的平均错误概率是
Pb?Q[② M元正交信号的错误概率
?bN0]?Q[rb]
2k?1PMPb?kPM?,k??12?12
对于等能量的正交信号，最佳检测器选择能在接收信号向量r与M个可能发
{sm}之间产生最大相关值的发送信号，即 送信号向量
M
C(r,sm)?rksmk,m?1,2,???M
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s1如果假定发送信号为 ，则接收信号向量为：
r?[?s?n1n2n3???nM]
12ni是零均值等方差 (?n?N0)的相互统计独立的高斯 式中,
2?随机变量。则可推出平均错误概率是：
2k?1PM
Pb?kPM?,k??1 2?12
当M趋向于 时,为到达任意小的错误概率，所要求的最小 多少呢?这个最小SNR ?b?ln2?0.693(?1.6dB)
③ M元双正交信号的错误概率
N0这个最小比特SNR就称作加性高斯白噪声信道的香农极限。
Pc??1[?2?2?s/N0?v?2?s/N0?(v?2?s/N0)?e?x2/2dx]M/2?1e?v2/2dv
④ 单纯信号的错误概率：单纯信号时M个等相关的且互相关系数为
?mn??1/(M?1)的信号的集合。在M维空间中，这些信号作为正交信号，其相
邻的信号之间具有同样的最小间隔，它们达到相互间隔所要求的发送能量为
?s（M?1）/M，该能量比正交信号所要求的能量小，为其（M?1）/M倍。
e)⑤ M元二进制编码信号的错误概率，如果d(min是M个信号波形的最小欧
式距离，则符号错误概率的上边界时
(e)2(e)2(dmin)(dmin)kPm?(M?1)P?(M?1)Q[?2exp[?]b2N04N0
M元PAM的错误概率：
PM?(6log2M)?bav2(M?1)Q[]2M(M?1)N0?bav/N0是平均比特SNR 式中， ?av?PavTb是平均比特能量，
四、实验过程
① 几种调制方法的比较
根据课本上提供的多种调制方法错误概率与比特之间的关系，并且计算出相关的
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数字通信实验报告 带宽效率，可绘制出如图的，当符号错误概率为10-5时几种调制方法之间的关系图。
%正交信号相干检测部分分析 x1=[6 6.5 7 8.2];
y1=[3/16 5/16 0.5 3/4]; figure;
subplot(1,2,1);
plot(x1,y1,'-*','LineWidth',1.5); axis([5 9 0.1 1]);
title('正交信号相干检测'); xlabel('比特SNR'); ylabel('R/W(b/sHz)'); %QAM信号分析 x2=[ 9 9.5 14 18.5]; y2=[ 1 2 4 6]; subplot(1,2,2); plot(x2,y2,'-+');
title('QAM,PSK,PAM信号相干检测'); xlabel('比特SNR'); ylabel('R/W(b/sHz)'); hold on;
%PSK信号分析 x3=[9 9.5 12.6 17 ]; y3=[1 2 3 4 ]; plot(x3,y3,'-^'); x4=[10 12 16.5]; y4=[1 2 3];
plot(x4,y4,'-*');%AWGN信号分析 x5=[1.6 2.2 5 9 15 20]; y5=[0.1 1 3.5 5.6 9.1 10]; plot(x5,y5);
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正交信号相干检测10.90.80.7功率受限区域65.554.5QAMPAMQAM,PSK,PAM信号相干检测R/W(b/sHz)0.60.50.40.30.20.1R/W(b/sHz)43.532.521.5PSK567比特SNR89151015比特SNR20
QAM,PSK,PAM信号相干检测1098信道容量限7带宽受限区域R/W(b/sHz)6543210024R?log2MWR?2log2MWQAM PAMPSK681012比特SNR14161820
1、 实验结果及分析
等效低通信号脉冲g(t)的带宽效率，假定脉冲g(t)的持续时间是T，带宽近似等于T的倒数。 1)PSK:带宽效率为 ：
2)PAM:因为传输它的带宽效率高的方法是单边带,则带宽效率为 ：
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3)QAM:它有两个正交载波，每一个载波具有一个PAM信号，但QAM信号必须经由双边带传输，所以当以带通信号带宽为基准时，带宽效率与PAM相同。 2、 实验结论
对无记忆调制方法的紧凑且有意义的比较是根据在要求达到给定的错误概率的情况下，归一化数据速率R/W（单位为（b/s）/Hz）与比特SNR的关系曲线。如果将二进制双极性信号与二进制正交信号的错误概率进行比较，要达到同样的错误概率，正交信号的能量需增加一倍。
在上面关于接收机的仿真中，可以看到，在PAM，QAM和PSK情况下，增加M导致较高的比特率-带宽比值。然而，达到了较高数据速率的代价是增加比特SNR。因此，这些调制方法适合于带宽受限的通信信道，这时希望R/W>1且要求有足够的SNR支持M的增加。
相反地，M元正交信号的R/W<=1。当M增加时，由于所需信道带宽增加，故R/W减少。然而，当M增加时，要达到给定错误概率（PM?10?5），所需的比特SNR减少。因此，M元正交信号适合于功率受限的信道，该信道具有充分大的带宽容纳大量信号。在这种情况下，倘若SNR>0.693(-1.6dB),当M??时，可以得到尽可能小的错误概率。该信噪比条件是在如下极限情况下可靠传输所需要的最小SNR：信道带宽W??且相应的R/W?0。
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