(2)求人离开路灯10s内身影的平均变化率.
[解析] (1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym,由于CD∥BE,则AB=BEACCD,
即
y1.61y+x=8,所以y=f(x)=4
x.
(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为
x2-x1=1.4×10-1.4×0=14, f(x1
172)-f(x1)=4×14-4×0=2
. 7所以f?x2?-f?x1?x-x=2=1. 21144
即人离开路灯10s内身影的平均变化率为1
4.
选修2-2 第一章 1.1 1.1.2
一、选择题
1.如果质点A按照规律s=3t2
运动,则在t0=3时的瞬时速度为( A.6 B.18 C.54 D.81
[答案] B
[解析] ∵s(t)=3t2
,t0=3,
∴Δs=s(t2
2
0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)-3·3 =18Δt+3(Δt)2
∴ΔsΔt=18+3Δt.
∴limt→0 ΔsΔΔt=Δlimt→0 (18+3Δt)=18,故应选B. 2.已知f(x)=x2
-3x,则f ′(0)=( ) A.Δx-3 B.(Δx)2
-3Δx C.-3
D.0
) 5
[答案] C
?0+Δx?-3?0+Δx?-0+3×0
[解析] f ′(0)=Δlim x→0Δx?Δx?-3Δx=Δlim =Δlim (Δx-3)=-3.故选C. x→0x→0Δx3.(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f(x)的图象过原点,且满足Δlim x→0
2
2
2
f?Δx?
=-1,则f ′ (0)=( ) ΔxA.-2 C.1 [答案] B
[解析] ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f ′(0)=Δlim x→0∴选B.
4.质点M的运动规律为s=4t+4t,则质点M在t=t0时的速度为( ) A.4+4t0 C.8t0+4 [答案] C
[解析] Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4(Δt)+4Δt+8t0Δt, Δs=4Δt+4+8t0, ΔtΔslim =Δlim (4Δt+4+8t0)=4+8t0. Δt→0Δtt→0
21
5.已知f(x)=,且f ′(m)=-,则m的值等于( )
x2A.-4 C.-2 [答案] D
[解析] f ′(x)=Δlim x→0
B.2 D.±2
2
2
B.-1 D.2
f?0+Δx?-f?0?f?Δx?
=Δlim =-1, x→0ΔxΔxB.0 D.4t0+4t0
2
f?x+Δx?-f?x?2
=-2,
Δxx212
于是有-2=-,m=4,解得m=±2.
m2
32
6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t+(t的单位是秒,s的单位是米),则它在
t4秒末的瞬时速度为( )
6
123
A.米/秒
16C.8米/秒 [答案] B
125
B.米/秒
1667
D.米/秒
4
332
?4+Δt?+-16-
4+Δt4Δs[解析] ∵=
ΔtΔt-3Δt2
?Δt?+8Δt+
4?4+Δt?
=
Δt=Δt+8-
3
. 16+4ΔtΔs3125
∴Δlim =8-=. t→0Δt1616二、填空题
7.已知函数f(x)=x+,f ′(1)=-2,则k=________. [答案] 3
kxkkΔx[解析] Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)+-1-k=Δx- 1+Δx1+ΔxΔyk=1- Δx1+ΔxΔy∵f ′(1)=-2,∴Δlim =1-k=-2,∴k=3. x→0Δx8.已知y=x+4,则y′|x=1=________. [答案]
5
10
[解析] 由题意知Δy=1+Δx+4-1+4 =5+Δx-5, ∴
Δy5+Δx-5=. ΔxΔx5+Δx-5Δx5
=Δlim =. x→0ΔxΔx?5+Δx+5?10
∴y′|x=1=Δlim x→0
9.某物体做匀速运动,其运动方程是s=vt+b,则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________.
[答案] 相等
7
Δss?t0+Δt?-s?t0?
[解析] v0=Δlim =lim t→0ΔtΔt→0Δt=Δlim t→0
v?t0+Δt?-vt0v·Δt=Δlim =v. t→0ΔtΔt三、解答题
10.下面是利用导数的定义求函数f(x)=x+2在x=2处的导数的解题过程: 因为Δy=?2+Δx?+2-2+2=4+Δx-2, Δy4+Δx-2
=, ΔxΔxΔy4+Δx-2所以f ′(2)=Δlim =lim =0. x→0ΔxΔx→0Δx试分析解题过程是否正确,如不正确请指出错误,并加以纠正.
[解析] 解答过程有错误,最后一步不能直接得到0,因为分母为0时,无意义. 正解:因为Δy=?2+Δx?+2-2+2=4+Δx-2, Δy4+Δx-2= ΔxΔx==
?4+Δx-2??4+Δx+2?
Δx?4+Δx+2?. 4+Δx+2
1
Δy11
所以f ′(2)=Δlim =lim =. x→0ΔxΔx→0
4+Δx+24
一、选择题
11.(2014·枣阳一中,襄州一中,宜城一中,曾都一中期中联考)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)=-4.9t+6.5t+10,则瞬时速度为0m/s的时刻是( )
65A.s 9898C.s 65[答案] A
65
[解析] h′(t)=-9.8t+6.5,由h′(t)=0得t=,故选A.
981f?x?-f?a?
12.设f(x)=,则lix→ma 等于( )
xx-a
8
2
65
B.s 4949D.s 65