概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2）X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

1

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??

?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X P 分布函数

0 0.008 1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2

?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.（1）设随机变量X的分布律为

?kP{X=k}=a，

k!其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N，k=1，2，?，N，

2

试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?a?e?

故a?e??

(2) 由分布律的性质知

NN1??P(X?k)??k?1k?1a?a N即a?1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1)

P(X?3,Y?3)

212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3

?0.32076

(2)

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，

则有

P(X?N)?0.01

即

k?N?1?200k200?kCk?0.01 200(0.02)(0.98)利用泊松近似

??np?200?0.02?4.

3

e?44kP(X?N)???0.01

k!k?N?1?查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故

4所以P(X?4)?C5()413210. ?32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308

k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293

k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X?0)?ekk?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e2?k?52

11.设P{X=k}=C2p(1?p)P{Y=m}=C4p(1?p)mm4?m, k=0,1,2

,m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 992而P(X?1)?P(X?0)?(1?p)

4