福建省龙岩市2019届高三教学质量检查
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2sin15?cos15?=
33 D．? 2222．命题“对任意实数x?[1,2]，关于x的不等式x?a?0恒成立”为真命题的一个必要不充分条
A．
B．?C．
件是
A．a?4 B．a?4 C．a?3 D．a?3
3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位
频率
数为
0.08 组距 A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
4．已知复数z?a?(a?2)i（a?R,i为虚数单位）为实数，
0.04 0.03 a0.02 则(4?x2?x)dx的值为
010 15 20 25 30 35 长度(mm)
1 21 2?A．2?? B．2??C．4?2?
5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是
2D．4?4?
（第3题图） 131[来源:学优高考网gkstk]1正视图 侧视图 33A． B． 32 C． 3?7 D．3?7?1 俯视图 （第题图） 6．如图，A,B分别是射线OM,ON上的两点，给出下列向量：①OA?2OB； 5MA11313131②OA?OB；③OA?OB；④OA?OB；⑤OA?OB 23434545若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有 OBNA．①② B．②④ C．①③ D．③⑤
·1·
（第6题图）
7．已知过抛物线y2?12x焦点的一条直线与抛物线相交于A，B两点，若AB?14，则线段AB的中点到y轴的距离等于 A．1 B．2 C．3 D．4 8． 若函数f(x)?2sin(2x?????)?a?1(a?R)在区间?0,?上有两个零点x1,x2(x1?x2)，则6?2?x1?x2?a的取值范围是
????2?2?2?2??1,?1) D．[,?1) A．(?1,?1) B．[,?1) C．(333333339．已知函数y?f(x)是R上的减函数，且函数y?f(x?1)的图象关于点A(1,0)对称．设动点
M(x,y)，若实数x,y满足不等式 f(x2?8y?24)?f(y2?6x)?0恒成立，则OA?OM的取
值范围是
A．(??,??) B．[?1,1] C．[2,4] D．[3,5]
10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位
111111111111??，1????，1?????，……
2561220236246121111111111111??????????依此类推可得：1???，
2612mn3042567290110132156x?y?2其中m?n，m,n?N*．设1?x?m,1?y?n，则的最小值为
x?1235834A． B． C． D．
2723分数之和． 如：1?[来源:学优高考网]
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
11．如右图所示的程序执行后输出的结果S为 ． i?115)展开式中的常数项为 （用数字作答）. x3x2y213．已知点P在渐近线方程为4x?3y?0的双曲线2?2?1(a?0,b?0) ab上，其中F1F2的面积为16且 1，F2分别为其左、右焦点．若?PF12．二项式(x?2S?0WHILEi??5S?S?ii?i?1WENDPRINT SEND（第11题图）
14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶
性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）． 15．已知动点P在函数f(x)??PF1PF2?0，则a?b的值为 ．
4的图像上，定点M(?4,?2)，则线段PM长度的最小值x?2是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
16.（本小题满分13分）
已知在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，b(b?3c)?(a?c)(a?c)，且?B为钝角．
·2·
（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?
17.（本小题满分13分）
某运动队拟在2019年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为第一次测试合格的概率不超过
1，求b?3c的取值范围． 21的等差数列，他948，且他直到第二次测试才合格的概率为． 927（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；
（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为?，求随机变量?的分布列和数学期望．
18.（本小题满分13分）
如图，已知AC,BD是圆O的两条互相垂直的直径，直角梯形
F
ABEF所在平面与圆O所在平面互相垂直，其中
N
?FAB??EBA?90?，BE?2，AF?6，AC?42，点N为EF中点．
E（Ⅰ）求证：直线NO//平面EBC；
（Ⅱ）若点M在线段AC上，且点M在平面CEF上的射影为
BNC的中点，请求出线段AM的长．
线段
AOD线段
19.（本小题满分13分）
C（第18题图）
yx2y2M如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为ab22A2xA1O，其左、右顶点分别为A．一条不经过原(?3,0),A(3,0)点123N的直线l：y?kx?m与该椭圆相交于M、N两点．
（第19题图） （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若m?k?0，直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2．试问：是否存在实数?，使得k1??k2?0？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分）
(x?a)?ex已知函数f(x)?（e为自然对数的底数），曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线与直
x?1线4x?3ey?1?0互相垂直.
（Ⅰ）求实数a的值；
2（Ⅱ）若对任意x?(,??)， (x?1)f(x)?m(2x?1)恒成立，求实数m的取值范围；
3123n?1(x?1)f(x)T?1?2[g()?g()?g()??g()] (n?2,3)．（Ⅲ）设g(x)? ，问：nxnnnnx(e?e)1111????M成立？若存是否存在正常数M，对任意给定的正整数n(n?2)，都有?T3T6T9T3n·3·
在，求M的最小值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分14分）
本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）已知二阶矩阵M????1??21?M?1?，若矩阵属于特征值的一个特征向量(a,b?R)??1??3??，ab?????1?属于特征值3的一个特征向量?2???1??．
??（Ⅰ）求实数a,b的值；
??3?（Ⅱ）若向量????，计算M5?的值．
?5?1?x??t?2?（2）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），若以原点O为极点, x?y?2?3t?2?轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为??4cos?，设M是圆C上任一点，
连结OM并延长到Q，使OM?MQ． （Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A,B两点，点P的直角坐标为(0,2)，求PA?PB的值．
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