高等代数习题1 下载本文

32. 设A,B是数域P上的n阶方阵,如果线性方程组Ax?0和Bx?0同解,且每个方程组的基础解系都含m个线性无关的向量. 证明:R(A?B)?n?m.

33. 设A是秩为r的m?n矩阵,求证:必存在一个秩为n?r的n?(n?r)的矩阵B,使得AB?0

34. 设A是秩为r的m?n矩阵,?1,?2,?,?n?r与?1,?2,?,?n?r是齐次线性方程组Ax?0的两个基础解系,求证:必存在n?r阶可逆矩阵Q,使得

(?1,?2,?,?n?r)?(?1,?2,?,?n?r)Q.

35. 设线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a12x1?a22x2???a2nxn?0,??......?an?1,1x1?an?1,2x2???an?1,nxn?0?

的系数矩阵为

?a11?a21A???......??a?n?1,1a12a22an?1,2........................a1n??a2n?. ......??an?1,n??设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的(n?1)?(n?1)矩阵的行列式.

(1) 证明:(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)是方程组的一个解;

(2) 如果A的秩为n?1,则方程组的解全是(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)的倍数.

第四章 线性变换

1. 判别下面的变换,哪些是线性变换,哪些不是:

(1) 在线性空间V中,A(?)????,其中??V是一固定的向量; (2) 在线性空间V中,A(?)??,其中??V是一固定的向量;

(3) 在线性空间Pn[x]中,Af(x)?f?(x);

(4) 在线性空间P3中,A(x1,x2,x3)?(x12,x2?x3,x32);

A(x1,x2,x3)?(0,x1x2x3,0);

A(x1,x2,x3)?(x1?x2,x2?x3,x3?x1); A(x1,x2,x3)?(0,x1?x2?x3,0);

(5) 在Pn?n中,A(X)?AXB, 其中A,B是Pn?n中两个固定的矩阵. 2. 设A是数域P上线性空间V上的线性变换,W1,W2是V的两个子空间,且有V?W1?W2.证明:A可逆的充分必要条件是V?A(W1)?A(W2).

3. 证明:1,x?1,x2?x?1是线性空间P3[x]的一组基. 并求出线性变换

Af(x)?f?(x)

在这组基下的矩阵.

4. 在P2?2中定义线性变换

?aA1(X)???c?aA2(X)?X??c?aA3(X)???cb??Xd?;

b??; d?b??d?b??a?X?d??c.

分别求出A1,A2,A3在基I11,I12,I21,I22下的矩阵.

5. 设在数域P上的三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为

?a11?A?a21??a?31a12a22a32a13??a23. ?a33??求

(1) A在基?3,?2,?1下的矩阵;

(2) A在基?1,k?2,?3下的矩阵,其中k?P,且k?0; (3) A在基?1??2,?2,?3下的矩阵.

6.设A,B是线性变换,如果AB?BA=E, 证明:

AB?BAkk=kAk?1,k是大于1的正整数.

7.设n阶矩阵A和B相似,且A可逆. 则AB与BA相似.

8.设V是数域P上的二维线性空间,线性变换A在基?1,?2下的矩阵是

?2???11??. 0??1,?2也是V的一组基,且从基?1,?2到?1,?2的过渡矩阵为

?1???1?1??. 2??2求A在基?1,?2下的矩阵及???11??,k为正整数. 0?k9.证明:方阵

?a1??????ai1???? 与 ??????an?????? ?ain??a2?ai2?相似,其中i1,i2,?,in是1,2,?,n的一个排列.

10.如果A和B相似,C和D相似,证明

?A??00??C?与?B??00??D?

相似.

11. 设A是n维线性空间V的一个线性变换,且A在V中存在一组基,使得A在这组基下的矩阵是

?0?1??0????0?001?0?????000?10??0?0? ???0??n?1?0,An ?0. 证明:

12.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基,线性变换A在基?1,?2,?3,?4下的矩阵是

?1??1??1??2022?221511??3?. 5???2?(1) 求A在基?1??1?2?2??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?3?2?4下的矩

阵;

(2) 求A的值域与核;

(3) 在A的值域中选择一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;

(4) 在A的核中选择一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵.

13. 设A是有限维线性空间V的一个线性变换,W是V的一个子空间. 证明:

dimA(W)?dim[A?1(0)?W]?dimW.

14. 设A,B是n维线性空间V线性变换. 证明:

AB的秩?A的秩+B的秩?n.

15. 设A1,A2,?,As是线性空间V的s个两两不同的线性变换,则在V中必存在向量?,使得A1(?),A2(?),?,As(?)也两两不同.

16. 设A,B是线性空间V线性变换,且A2=A ,B2=B. 证明:

(1) A,B有相同的值域?AB?B,BA?A; (2) A,B有相同的核?AB?A,BA?B. 17. 设A是n维线性空间V线性变换. 证明:

A的秩=A2的秩?V?A(V)?A?1(0)

18. 设W是线性空间V的一个子空间,A是V的一个线性变换. 证明:如果W是A的不变子空间,则可以选择适当的基,使得A在这组基下的矩阵具有如下形状:

?A??0C??. B?W是V的子空间,19.设A是n维线性空间V的可逆的线性变换,且对于A不变.证明:W也是A?1的不变子空间.

220. 设A是n维线性空间V线性变换,且A(1) A?1=A. 证明:

(0)?{??A(?)|??V};

(0)(2) 若B是V线性变换,则A是AB?BA

?1与A(V)都是B的不变子空间的充要条件

第五章 多项式