难点38 分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

●难点磁场

1.（★★★★★）若函数f(x)?则a的取值为 .

2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究

［例1］已知{an}是首项为2，公比为（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然数c和k，使得

1111(a?1)x3?ax2?x?在其定义域内有极值点，32451的等比数列，Sn为它的前n项和. 2Sk?1?c?2成立.

Sk?c命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.

错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出

3Sk?2?c?Sk. 2技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.

解：（1）由Sn=4(1–

1），得 2n11Sn?1?4(1?n?1)?Sn?2，(n∈N*)

223c?(Sk?2)S?c2?2，只要?0 （2）要使k?1Sk?cc?Sk因为Sk?4(1?1)?4 k21Sk?0，(k∈N*) 2所以Sk?(Sk?2)?2?故只要

323Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*） 2因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① 所以

33Sk–2≥S1–2=1. 22又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.

当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立. 当k≥2时，因为

35S2?2??c，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得 2233Sk–2＜Sk+1–2 223故当k≥2时，Sk–2＞c，从而①不成立.

2当c=3时，因为S1=2，S2=3，

所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立

31333S3?2??c，又Sk–2＜Sk+1–2 24223所以当k≥3时，Sk–2＞c，从而①成立.

2因为

综上所述，不存在自然数c,k,使

Sk?1?c?2成立.

Sk?c［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.

技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.

解法一：依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.

设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.

根据点到直线的距离公式得｜y｜=依题设，点C在直线AB上，故有

|y?bx| 1?b2①

y??b(x?a) 1?a(1?a)y ②

x?a由x–a≠0，得b??将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C的轨迹方程为

（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a≠1，轨迹方程化为

(x?a2)21?a?y?1(0?x?a) ④

2a2a()1?a1?a2所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.

解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.

（i）当｜BD｜≠0时，

设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0

由CE∥BD，得|BD|?|CE|?|DA||y|?(1?a).

|EA|a?x∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD

∴2∠COA=π–∠BOD ∴tan(2?COA)?2tanCOA 21?tanCOAtan(???BOD)??tanBOD

∵tanCOA?|y| xtanBOD?|BD||y|?(1?a) |OD|a?x|y|x??|y|(1?a)整理，得 ∴

ya?x1?2x2?(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a) 以下同解法一.

解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为

y??b(x?a) 1?a∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,

∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

tan2??2tan?2k ?221?tan?1?k又tan2θ=–b ∴–b=

2k ① 1?k2b(x?a) ② 1?a2k(x?a) ③ 21?k∵C点在AB上 ∴kx??由①、②消去b，得(1?a)kx?又k?y，代入③，有 xy2?yx(x?a) (1?a)??xxy21?2x整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④

当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：

a2)y21?aa≠1时，④式变为??1 2a2a()1?a1?a2(x?当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；

当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计

分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：

1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.

2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.

3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.

在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.

●歼灭难点训练 一、选择题

2n?an?1其中a∈R，则a的取值范围是( ) 1.（★★★★）已知limnn??2?anA.a＜0 B.a＜2或a≠–2