x－x0a2y＋y0∴＝. y－y0b2x＋x0
a2b2
∴＝2|k2|，即|k1|·|k2|＝2. |k1|ba1
又∵|k1|＋|k2|≥2|k1||k2|＝2b22∴＝1，即4b＝a.
2b.
aa∴4(c－a)＝a，即4c＝5a.
22222
c25552
∴2＝，即e＝，∴e＝. a442
答案：B
10．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的
3最小值为( )
A．－2 C．1
81B．－
16D．0
2
2
y2
→→
解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y＝3(x2－1)． →
→
PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1)－x→→
1??2812
－2＝4x－x－5＝4?x－?－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2.
?8?16
答案：A 二、填空题
11．设抛物线x＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P→
→
恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝__________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x1＝4y1，x2＝4y2，两式相减整理得，＝
2
2
2
y1－y2
x1－x2
x1＋x21
＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入x＝4y整理得4y－32y＋49＝0，42
→
→
22
所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝10.
答案：10
12. 已知椭圆＋y＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点
4
5
x2
2
为P，则|PF2|＝__________.
1
解析：将x＝－3代入椭圆方程得yp＝，
2
由|PF1|＋|PF2|＝4
17
?|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
227答案：
2
13．直线y＝kx－2与抛物线y＝8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是__________．
??y＝kx－2，
解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由?2
??y＝8x，
2
消去y得kx－4(k＋2)x＋4＝0，
22
Δ＝[－4k＋2]2－4×k2×4>0，??
由题意得?4k＋2
x＝2×2，1＋x2＝?k2?
∴?
?k>－1，?
??k＝－1或k＝2，
即k＝2.
答案：2
x2y2x14．已知双曲线2－2＝1 (a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－
abay4
＝1的距离之和s≥c，则e的取值范围是__________． b5
解析：由题意知
6
s＝
|－b－ab||b－ab|2ab4
＋2＝≥c，
a2＋b2a＋b2c5
2
2
2c5b∴2c≤5ab，∴2≤. aab又＝a4
c2－a2222
＝e－1，∴2e≤5e－1， 2a2
4
2
∴4e≤25(e－1)，∴4e－25e＋25≤0， 525
∴≤e≤5，∴≤e≤5. 42答案：?
?5?
，5? ?2?
三、解答题
x2y2
15．[2013·安徽]设椭圆E：2＋＝1的焦点在x轴上．
a1－a2
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解析：(1)因为焦距为1， 1522
所以2a－1＝，解得a＝.
488x8y故椭圆E的方程为＋＝1.
53
(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝2a－1. 由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝直线F2P的斜率kF2P＝
22
2
y0
x0＋c，
y0y0
x0－c， (x－c)．
故直线F2P的方程为y＝当x＝0时，y＝
x0－ccy0?cy0?，即点Q坐标为?0，?. c－x0?c－x0?
y0c－x0
.
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝由于F1P⊥F1Q， 所以kF1P·kF1Q＝
2
2
y0
2
x0＋cc－x0
·y0
＝－1.
化简得y0＝x0－(2a－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a，y0＝1－a，
7
2
2
即点P在定直线x＋y＝1上． 8x8y答案：(1)＋＝1；(2)证明略．
53
2
2
x2y21?3?16．[2013·江西]如图，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点P?1，?，离心率e＝，直线l的
ab2?2?
方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
19?3?解析：(1)由P?1，?在椭圆上得，2＋2＝1，① a4b?2?依题设知a＝2c，则b＝3c，② ②代入①解得c＝1，a＝4，b＝3. 故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k， 则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③ 代入椭圆方程3x＋4y＝12并整理， 得(4k＋3)x－8kx＋4(k－3)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 8k4k－3
x1＋x2＝2，x1x2＝，④ 2
4k＋34k＋3在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
8