【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-8圆锥
曲线的综合问题同步检测（2）文
一、选择题
1．直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 C．0
??y＝kx＋2，解析：由?2
?y＝8x?
2
B．1或3 D．1或0
得ky－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k2
2
＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.
答案：D
x2y2
2．已知AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )
abA．b C．ac
2
B．ab D．bc
解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)， 1
则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.
2答案：D
3．过抛物线y＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交|AF|
于A、B两点，则的值等于( )
|BF|
A．5 C．3
2
2
B．4 D．2
解析：记抛物线y＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则|AC||AA1|－|BB1||AF|－|BF|1|AF|
有cos60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.
|AB||AF|＋|BF||AF|＋|BF|2|BF|
答案：C
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) C．(2，＋∞)
2
2
B．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：∵x＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4
1
答案：C
5．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且
的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.x2y23－6＝1 B.x2y24－5＝1 C.x2y2
6－3
＝1 D.x2y2
5－4
＝1 解析：∵k0＋15
AB＝3＋12＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2
＝9.
x2a－y2
设双曲线的标准方程为2b2＝1(a>0，b>0)，
2
则x2x－3a2－b2
＝1.整理，得
(b2
－a2
)x2
＋6a2x－9a2
－a2b2
＝0.
2
设A(x，y(x＝6a22211)，B2，y2)，则x1＋x2a2－b2＝2×(－12)，∴a＝－4a＋4b，
∴5a2
＝4b2
.
又a2
＋b2
＝9，∴a2
＝4，b2
＝5， ∴双曲线E的方程为x2y2
4－5＝1.
答案：B
6．已知抛物线y＝－x2
＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( A．3 B．4 C．32
D．42
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b.
2
由???y＝－x＋3，??y＝x＋b
?x2
＋x＋b－3＝0?x1＋x2＝－1，
得AB的中点M??1?－1
2
，－2＋b???.
又M???－1
2，－12＋b???在直线x＋y＝0上，可求出b＝1，
∴x2
＋x－2＝0，则 |AB|＝1＋12
·－1
2
－4×－2 ＝32.
答案：C
) 2
AB
7．如图，已知过抛物线y＝2px (p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为22，则m＋m的值是( )
A．1 C．2
B.2 D．4
6
4
2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y＝2px(p>0)
2中，整理得y－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)＝(y11p1224242
＋y2)－4y1y2＝(2pm)－8pm＝16m＋16m，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝(－m)×4m＋m＝
22222，两边平方即可得m＋m＝2.
答案：C
8．直线l：y＝x＋3与曲线－9A．0个 C．2个
6
4
2
2
p2
y2x·|x|
4
＝1交点的个数为( )
B．1个 D．3个
3
解析：当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，
9494
33
直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲
9422线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以
9494共3个交点.
答案：D
y2x2y2x2
y2x2
y2x2y2x2
x2y2
9．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的
ab动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )
A.2 C.3 2
B.5 2
3D. 2
解析：设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)， 则k1＝
y－y0y＋y0
，k2＝. x－x0x＋x0
x2y2
又∵M、N、P都在双曲线2－2＝1上，
ab?bx0－ay0＝ab，?∴?222222
??bx－ay＝ab.
2
2
2
2
2
22
22
22
2
∴b(x－x0)＝a(y－y0)．
4