第四章 随机变量的数字特征

一、填空题

1，设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X服从（-1，2）上的均匀分布，Y服从参数为4的指数分布，则E(XY)?_________，D(2X?3Y)?____________。 2，?XY?0.5,E(X)?E(Y)?0,E(X)?E(Y)?2，则E[(X?Y)]?______。 3，设随机变量X~N(?,1)且E(X)?3，则X的概率密度f(x)?_____________。

2222???104，设随机变量X的分布律为?11???36E(?X?1)?_____，EX2?_______。

11211612?2??，则EX=____，1??4?5，设随机变量X服从B(n,p)分布，已知EX?1.6，DX?1.28，则参数n=_____，

p?________。

二，选择题

1，如果随机变量X与Y满足D(X?Y)?D(X?Y)，则下列说法正确的是（ ）。 A，X与Y相互独立； B，X与Y不相关； C，D(Y)?0； D，D(X)D(Y)?0 2，设随机变量X，Y相互独立，且X~N(?1,2)，Y~N(1,3)，则X + 2Y服从的分布为（ ）。

A，N(1,4)； B，N(1,8)； C，N(1,14)； D，N(1,22) 3，设随机变量X的分布函数为

?1?e?2x,x?0 F(x)??

0,else? 则E(X) =（ ）。

A，2； B，1； C，1/2； D，3

4，设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数?XY?0.6,则 方差D(3X?2Y)?（ ）

A，40； B， 34； C， 25.6； D， 17.6

11

5，设X~N(?,?)，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0， 则Y~（ ）。 A，N(a??b,a??b)； B，N(a??b,a??b)；

C，N(a??b,a?)； D，N(a??b,a?)。

三、计算题

1，游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个正点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且X服从[0,60]上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

2，设二维随机变量（X，Y）的密度函数为

22222222222??4xye?(x f(x,y)????0,2?y2),x?0,y?0else2

试求：（1）EX，DX；（2）E(XY)，E(X?Y)。

3，设随机变量X和Y的分布律分别为

X 0 1 pk 1/3 2/3

且P(XY?1)?

12

2

Y pk 1 2 1/4 3/4 1，试求(X,Y)的联合分布和协方差Cov(X,Y)。 54，设连续型随机变量X的概率密度函数为

?1?x,?1?x?0? f(x)??1?x,0?x?1

?0,else?试求方差D(3X?4)。

5，设X和Y是两个相互独立的随机变量，同服从正态分布N(0,?)，令

2Z1?aX?bY，Z2?aX?bY，其中a，b为不等于0的常数，讨论Z1与Z2的相

关性和独立性。

6，设离散型随机变量X服从泊松分布?(?)，已知E[(X?1)(X?2)]?1，试求参数?。

7，设连续型随机变量Y服从指数分布E(2)，令随机变量 Xk???1,Y?k,k?1,2

?0,Y?k试求：（1）(X1,X2)的联合分布律，X1和X2是否独立？（2）M?max{X1,X2}的分布律；（3）E(3X1?2X2)；（4）X1和X2的相关系数?。

13

2

8，设随机变量X~N(0,2)，Y~N(0,4)，且X与Y的相关系数?XY??令Z?221，3XY?，试求Z的分布及X与Z的相关系数。 24

9，设二维随机变量（X，Y）的联合概率分布律为 Y P(X?xi)?pi? -1 0 1 X

-1 a 1/8 1/4 3/8+a

1 1/8 1/8 b 2/8+b P(Y?yj)?p?j a+1/8 2/8 b+1/4 1

试求：（1）EXY；（2）当a，b取何值时，X与Y不相关；（3）当a，b取何值时，X与Y既不相关，又独立？

10，设随机变量X的概率密度函数为 f(x)?1?|x|e,2???x???

（1）试求EX,E|X|,DX； （2）试求X和|X|的相关系数；

（3）试问X和|X|是否相互独立，为什么？

14