选修系列 13.5 复数 理
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位) (2)分类：
满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数?b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
→22
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a＋b(a，b∈R)． 2．复数的几何意义
→
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
→→→→
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2→→＝OZ2－OZ1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )
2
1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案 A
解析 ∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i， ∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.
2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( ) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案 C
解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
3．(2016·黄山一模)设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B
解析 ∵z＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)
??cos θ<0，
位于第二象限，∴?
??sin θ>0，
B．第二象限 D．第四象限
∴θ为第二象限角，故选B.
→→
4．(教材改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向→
量CA对应的复数是( ) A．1－2i
B．－1＋2i
2
C．3＋4i 答案 D
D．－3－4i
→→→
解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 5．i
2 011
＋i
2 012
＋i
2 013
＋i
2 014
＋i
2 015
＋i
2 016
＋i
2 017
＝________.
答案 1
解析 原式＝i＋i＋i＋i＋i＋i＋i＝1.
3
4
1
2
3
4
题型一 复数的概念
例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( ) A．3，－2 C．3，－3
2
2
B．3,2 D．－1,4
(2)若z1＝(m＋m＋1)＋(m＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________． 答案 (1)A (2)A (3)1
解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi， ∴a＝3，b＝－2，故选A.
??m＋m＋1＝3，(2)由?2
?m＋m－4＝－2，?
2
解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝引申探究
1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值． 解 (1＋i)(2－3i) ＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi， 所以a＝5，b＝－1.
2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)z＝2”，求z的实部． 解 z＝
2
＋
3
3
2
＝1－i，∴其实部为1. 1＋i
＝2
－2＋2i
3
11＝－－i，
221
∴z的实部为－. 2
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
2
A．1 B．i C. D．0
5
(2)已知复数z满足z＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________. 答案 (1)A (2)2i
2
z1z2z1z2
z12＋ai
解析 (1)由＝＝
z21－2i
i，其虚部为1.
＋a5
＋
＝2－2a4＋az1
＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝55z2
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)， 则z＝a－b＋2abi＝－4， 因此a＝0，－b＝－4，b＝±2， 又b>0，∴b＝2，∴z＝2i. 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)等于( ) A．0 B．2 C．2i D．2＋2i
(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( ) A．1 B.2 C.3 D．2
(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 (1)C (2)B (3)B
解析 (1)(1＋i)＝1＋i＋2i＝1－1＋2i＝2i.
??x＝1，
(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi??
?x＝y?
2
2
2
2
2
2
2
2
??x＝1，
??
?y＝1.?
所以|x＋yi|＝x＋y＝
222，故选B.
4