1?j2w1?ew?j2?2??H?e?1 1????1?1e?j2w2????jw???j??j???112?22arg?H??e???arctan?1?2e??arctan?1?2e?????????? ?1?1???2arctan???2?????y?n??Hejwcos?n??argHejw?4?2?故：

????1???cos?n??2arctan???24?2?????????

2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)

试确定能使系统成为全通系统的b值（b≠a），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率?无关的常数的系统。

解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或

h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n≥0

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1

h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)= h(3)=ah(2)= h(n)=ah(n-1)= h(n)=

u(n)--b,n≥0 bu(n-1) -ab -b

或系统的频率特性为

H(

)=

=

=

= 振幅的特性平方

=

=

==

11**jw22若选取a＝b或b＝a，则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该

系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数，且0

n? nu(n), ?为实数，且0

y(n)=(k1a+k2?nn)u(n)

jw(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e

Y(e

jw)、H(e

jw)、Y(e

jw)，并证明

)=H(e

jw)X(e

jw)

解 (1)y(n)=

k?????h(k)x(n?k)?au(k)?k?1?

=u(n?k)

k?????1[1?(???1)n?1] =??(a?)= ?11???k????1??1k??1??1n?1?1 =-+，n≥0 ???1?11???1??? y(n)=(

(2)X(e)=???e?i?=-iw

???n-?n)u(n)

1??1???n?01 ?j?1??e1

1??e?j? H(e

j?)=???e?i?=

n?0?? Y(e

j?)=?(n?0?????n??????n)e?j?

=

?1?n(-) ??j??j????1??e???e由于

?1?(-) ???1??e?j?1??e?j?1j?j?=X(e)H(e)

(1??e?j?)(1??e?j?) =

故得出 Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)

2.17 令x(n)和X(e

jw)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：

1x(n)x(n)??2?n???*???n?nX(ejw)X*(ejw)dx

此式是帕塞瓦尔（Parseval）定理的一种形式。

证明：证法一

X(ejwn)?X*(e12?jwn????x(n)en????jwn)?(?x*(N)ejwn)*?n????x*(n)e?jwn?????X(ejw)X*(ejw)dw?1?2?????[m?????x(m)e?jwn][?x*(n)ejw]dwn????m????x(m)n????x*(n)?12?????ejw(n?m)dw其中????n?m??????2?,....?jw(n?m)ejw(n?m)dw??e?e?jw(n?m)?0,....n?m?n?m?n???1?jwjwX(e)X*(e)dw????2?证法二：?x(n)x*(n)?n????x(n)x*(n)??

1??x(n)[2?n???1??x(n)[2?n???1?2?1?2??????X(ejw)e?jwndw]

???jw?X*(ejw)ejwndw])????X*(en????x(n)e??jwndw????X(ejw)X*(ejw)dw

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x?(t)到y?(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率?等于理想低通滤波器的截止频率fc （2）对

?1rad，＝10kHz，求整个系统的截止频率fac，并求出8T1＝20kHz，重复（1）的计算 T