由上二式得到

c1＝

11，c2＝－ 22将c1和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=c1?n1+c2?n2＝

1nn[4-(-2) ] 2

2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1

解 由特征方程?2－?－1＝0求得特征根

?1＝

1?51?5，?2＝ 22n通解为y(n)=c1?代入初始条件得

1+c2?n2＝c1（1?5n1?5n）＋c2（）

22

?c1?c2?1? ?1?51?5)?c2()?1?c1(?22

c1=求出

1?51?5，c2= 2525最后得到通解

y(n)= c1(

1?5n1?5n)+ c2()

2525 =11?5n?11?5n?1[()-()] 52525

2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

＋ x(n) x-1解 由图可知

y(n)=x(n)+ ?y(n-1)

?

为求单位取样响应，令x(n)=?(n),于是有

h(n)= ?(n)+ ?h(n-1)

由此得到

h(n)=

?(n)n=?u(n)

1??D阶跃响应为

y(n)=h(n)*u(n)=

?k?0n?ky(k)u(n-k)

1??n?1=u(n) 1??2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e

jw),求下列各序列的傅立叶变换

jw解 （1）F[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(e(2)F[x(n-k)]=e(3)F[e

jw0n?jwk)+bX2(e

jw)

X(e

jw) ]

x(n)]=X[e

?jwj(w?w0)(4)F[x(-n)]=X(e

**) ) )

(5)F[x(n)]=X(e

**?jw(6)F[x(-n)]= X(e(7)

jw(8)jIm[x(n)]=(9)

1jw?jw*[X(e)-X(e)] 21j?jwX(e)*X(e) 2?dx(ejw)(10)j

dw

2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-(1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(

jwn11y(n-1)=x(n)+ x(n-1) 22时系统的响应

??n+)的响应 24

解 （1）令X（n）=δ(n),得到

h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n≥0 递推计算出

h(-1)=0

h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1

h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=h(2)=()2 h(4)= ． ．

11h(2)=()3 221212 ．

12h(n)=δ(n)+ ()n-1u(n-1) 或 h(n)= ()n [u(n)-u(n-1)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)

由此得到

h(n)=[(1+D)/(1-D)]δ(n) =[1+D+D2+ ()2 D3+…+()k-1 D3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)+δ(n-3)+... +()k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ ()nu(n-1)

2）将X(n)?ejwn代入y(n)?x(n)*h(n)得到

y(n)?ejwn*?1?1D2?(n)11?D212121212121212121212

?1D2?ejwn11?D22n?1??12?1?3?1???1?D?D???D????????Dn??????2?2??2?????ejw?n?1?jwn?e?11?e?jw211?e?jw2?ejwn11?e?jw2 1?（3）由（2）得出 11?e?jw2 Hejw?1?jw1?e2（4）由（3）可知

??