(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[
2??n+] 36(3)y(n)=
k????x(k) (4)y(n)= ?x(k)
k?n0?n (5)y(n)= x(n)g(n)
解 （1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3 ≠y1(n)+ y2(n) =2[x1(n)+x2(n)]+6
故系统不是线性系统。
由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而
y(n-k) = T[x(n-k)]
故该系统是非移变系统。
设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y1(n)=ax1(n)sin[?2?n+] 36?2?y2(n)=bx2(n)sin[n+] 36 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[=ax1(n)sin[?2?n+] 36??2?2?n+]+bx2(n)sin[n+]3366 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[?2?(n-k)+] 36?2?T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+] 36因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|x(n)sin[?2?(n-k)+]| 36?2?=|x(n)|| sin[(n-k)+]| 36≤M|sin[?2?(n- k)+]|≤M 36故系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y1(n)=
k????x(k) ，y(n)=?x(k)，由于
1nn22k???y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=
k???nn?[ax(k)? bx(k)]
12n =a
k????x(k)+ b?x(k)=ay(n)+by(n)
1212
k???故该系统是线性系统。
因 y(n-k)=
k????x(k)= ?x(m?t)
m???n?tn=T[x(n-t)]
所以该系统是非移变系统。
设 x(n)=M<∞ y(n)=
k????M=∞，所以该系统是不稳定系统。
nn因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （4）设 y1(n)=
k?n0?x(k) ，y(n)=?x(k)，由于
1n22k?n0y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=
k?n0nn?[ax(k)? bx(k)]
12n = a
k?n0?x(k)+b?x(k)=ay(n)+by(n)
1212
k?n0故该系统是线性系统。
因 y(n-k)=
k?n0?x(k)= ?x(m?t)
m?n0?tn?tn≠T[x(n-t)]=
所以该系统是移变系统。
k?n0?x(m?t)
n设x(n)=M,则limy(n)= lim(n-n0)M=?,所以该系统不是稳定系统。
n??n??显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若n y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n) =ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n) 故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而 T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|≤M |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。 2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=( (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)= nn1n)u(n) 21u(n) nn (3) h(n)=?(n+n0), n0≥0 (6) h(n)= 2Rnu(n) 解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2≠0,故该系统不是因果系统。 n 因为S= n?????|h(n)|= ?n?0?|2|=1 n(2) 因为在n n?????????|h(n)|= n????????1| a|= nn????a ?n，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。 (3) 因为在n |h(n)|= |?(n+n0)|=1 n???n???(4) 因为在n |h(n)|= n????n?0|( 1n)| 1u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n 因为S= n???????|h(n)|= n??????11|u(n)|= ?=?，故该系统不是稳定系统。 nnn?0(6) 因为在n |h(n)|= n????n?0N?1|2|=2-1 nN 2.9 已知y(n)-2cos?y(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明 题给齐次差分方程的特征方程为 sin(n?) sin??2-2cos?·?+1=0 ?1=cos?+jsin?=ej?,?2=cos?-jsin?= e?j? y(n)=c1?n由特征方程求得特征根 齐次差分方程的通解为 1+c2?n2=c1e j?n+c2e ?j?n 代入初始条件得 y(0)=c1+c2=0 y(1)= c1e j?n+c2e ?j?n=1 由上两式得到 c1= 111=，c=- c=- 21ej?n?e?j?n2sin?2sin?将c1和c2代入通解公式，最后得到 2.10 已知y(n)+2?y(n-1)+?(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b 由 y(n) =c1e j?n+c2e ?j?n= 1sin(?n)j?n?j?n( e+ e)= 2sin?sin??y(2)?2ay(1)?by(0)?6?6a?0 ??y(3)?2ay(2)?by(1)?36?12a?3b?0可求出 a=-1,b=-8 于是原方程为 y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程? 2－2?－8＝0求得特征根 ?1＝4 ，?2＝-2 y(n)=c1?n齐次差分方程得通解为 1+c2?n2= c14+c2(-2) nn代入初始条件得 y(n)= c1?1+c2?2= 4?1+2?2=3