数字信号处理-答案-第二章. 下载本文

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[

2??n+] 36(3)y(n)=

k????x(k) (4)y(n)= ?x(k)

k?n0?n (5)y(n)= x(n)g(n)

解 (1)设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3 ≠y1(n)+ y2(n) =2[x1(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k) = T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|≤M,则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。 (2)设 y1(n)=ax1(n)sin[?2?n+] 36?2?y2(n)=bx2(n)sin[n+] 36 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[=ax1(n)sin[?2?n+] 36??2?2?n+]+bx2(n)sin[n+]3366 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[?2?(n-k)+] 36?2?T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+] 36因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M,则有 |y(n)|=|x(n)sin[?2?(n-k)+]| 36?2?=|x(n)|| sin[(n-k)+]| 36≤M|sin[?2?(n- k)+]|≤M 36故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。 (3)设 y1(n)=

k????x(k) ,y(n)=?x(k),由于

1nn22k???y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

k???nn?[ax(k)? bx(k)]

12n =a

k????x(k)+ b?x(k)=ay(n)+by(n)

1212

k???故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

k????x(k)= ?x(m?t)

m???n?tn=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=

k????M=∞,所以该系统是不稳定系统。

nn因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。 (4)设 y1(n)=

k?n0?x(k) ,y(n)=?x(k),由于

1n22k?n0y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

k?n0nn?[ax(k)? bx(k)]

12n = a

k?n0?x(k)+b?x(k)=ay(n)+by(n)

1212

k?n0故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

k?n0?x(k)= ?x(m?t)

m?n0?tn?tn≠T[x(n-t)]=

所以该系统是移变系统。

k?n0?x(m?t)

n设x(n)=M,则limy(n)= lim(n-n0)M=?,所以该系统不是稳定系统。

n??n??显而易见,若n≥n0。则该系统是因果系统;若n

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n) =ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)

故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|≤M

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入,故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 (1)h(n)=2u(-n) (4) h(n)=( (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=

nn1n)u(n) 21u(n) nn (3) h(n)=?(n+n0), n0≥0 (6) h(n)= 2Rnu(n)

解 (1)因为在n<0时,h(n)= 2≠0,故该系统不是因果系统。

n 因为S=

n?????|h(n)|=

?n?0?|2|=1

n(2) 因为在n

n?????????|h(n)|=

n????????1| a|=

nn????a

?n,故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。

(3) 因为在n

|h(n)|=

|?(n+n0)|=1

n???n???(4) 因为在n

|h(n)|=

n????n?0|(

1n)|

1u(n)=0,故该系统是因果系统 。 n 因为S=

n???????|h(n)|=

n??????11|u(n)|= ?=?,故该系统不是稳定系统。 nnn?0(6) 因为在n

|h(n)|=

n????n?0N?1|2|=2-1

nN

2.9 已知y(n)-2cos?y(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明 题给齐次差分方程的特征方程为

sin(n?)

sin??2-2cos?·?+1=0

?1=cos?+jsin?=ej?,?2=cos?-jsin?= e?j?

y(n)=c1?n由特征方程求得特征根

齐次差分方程的通解为

1+c2?n2=c1e

j?n+c2e

?j?n

代入初始条件得

y(0)=c1+c2=0 y(1)= c1e

j?n+c2e

?j?n=1

由上两式得到

c1=

111=,c=- c=- 21ej?n?e?j?n2sin?2sin?将c1和c2代入通解公式,最后得到

2.10 已知y(n)+2?y(n-1)+?(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b 由

y(n) =c1e

j?n+c2e

?j?n=

1sin(?n)j?n?j?n( e+ e)=

2sin?sin??y(2)?2ay(1)?by(0)?6?6a?0 ??y(3)?2ay(2)?by(1)?36?12a?3b?0可求出 a=-1,b=-8 于是原方程为

y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程?

2-2?-8=0求得特征根

?1=4 ,?2=-2

y(n)=c1?n齐次差分方程得通解为

1+c2?n2= c14+c2(-2)

nn代入初始条件得

y(n)= c1?1+c2?2= 4?1+2?2=3