第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(（2）x(n)=e(j5??n?) 86n??) 83??n?) （3）x(n)=Asin(43解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，得出??是周期序列。最小周期等于N=

5?2?16?是有理数，所以。因此

8?516k?16(k取5)。 512??16?是无理数，所以不。因此

8?3???3??n?)＝Acos(?n?)43243 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[??j?]n,得出??是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，又x(n)=Asin(＝Acos(N=

3?13?2?8n?)，得出???是有理数，所以是周期序列。最小周期等于。因此464?38k?8(k取3) 3

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)x(n)21-1(a)12 3n0 12 3…n-120 1x(n)h(n)21 -10 -124n-10 12 34n 1x(n)=u(n)(b)-1h(n)=anu(n)1…-10 12 34n…(c)-10 12 3n

解 利用线性卷积公式

y(n)=

?k????x(k)h(n?k)

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2?(n)-?(n-1)

h(n)=-?(n)+2?(n-1)+ ?(n-2)

y(n)=-2?(n)+5?(n-1)= ?(n-3) ?(c) y(n)=

(k)k?u???an?ku(n?k)=

k??n?k1?an?1=???a1?au(n)

2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=?nu(n)*u(n)

?解：(1) y(n)=

u(k)u(n?k)

k?????=

u(k)u(n?k)=(n+1),n≥0

k??0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=???ku(k)u(n?k)

k???

=??k?0?k1??n?1,n≥0 u(k)u(n?k)=

1??即

1??n?1y(n)=u(n)

1??

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h1(n)=?(n)-?(n-4), h2(n)=au(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

n

解 ?(n)=x(n)*h1(n) =

k????u(k)[?(n-k)-?(n-k-4)]

? =u(n)-u(n-4)

y(n)=?(n)*h2(n) =

k?????a?a?ku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]

=

k,n≥3

k?n?32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a

?nu(-n),0

系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明 （1）交换律

X(n) * y(n) =

k????x(k)y(n?k)

? `

令k=n-t,所以t=n-k,又-?

? x(n) * y(n) =

t?????x(n?t)y[n?(n?t)] ?x(n?t)y(t)=y(n) * x(n)

=

t???交换律得证. (2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n)

=[

k?????x(k)y(n?k)] * z(n)

[

? =

t?????k????x(k)y(t?k)]z(n-t)

??? =

k????????x(k) y(t-k)z(n-t)

t??? =x(k)

k????my(m)z(n-k-m)

=x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

k??? =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

=

k???????x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=

k????x(k)y(n-k)+

k????x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n) 加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明