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二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

考点1：二次函数的图象和性质

一、考点讲解：

21．二次函数的定义：形如y?ax?bx?c（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

24ac?b2bby?ax?bx?c⑵ 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为（－2a，4a），对称轴x=－2a；

当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2a，y随x的增大而增大，x＜－2a，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2a，y随x的增大而减小，x＜－2a，y随x的增大而增大．

4ac?b2bb⑶ 当a＞0时，当x=－2a时，函数有最小值4a；当a＜0时，当 x=－2a时，函数有4ac?b2。

最大值4a

bbbb3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同． ⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． ⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

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二、经典考题剖析：

【考题１】.抛物线y=?4(x+2)2+5的对称轴是______ 【考题2】函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）

【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线y?2x向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（） Ａ．y?2(x?2)?3 Ｂ．y?2(x?2)?3

Ｃ．y?2(x?2)?3 Ｄ．y?2(x?2)?3答案：Ｂ。 【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线y?3(x?4)2?3 的部分图象 （如图1-2-1），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ） A．（5，0） B.（6，0） C．（7，0） D.（8，0） 解：C

点拨：由y?3(x?4)2?3，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，则与x轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。

1122222考点2：二次函数的图象与系数的关系

一、考点讲解：

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；抛物线开口向下，则a＜0． 2、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－2a＜0，即2a＞0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－2a＞0，即2a＜0．则a、b异号．间“左同右异”．

3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．

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bbbb. . . .

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ． 5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线y?ax?bx?c(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵

2坐标，a－b+c是抛物线y?ax?bx?c(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号.

2二、经典考题剖析：

2【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图 l－2

－2所示，则a、b、c满足（ ）

A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 解：A

点拨：由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－2a ＜0，则b＜0．故选A．

2y?ax?bx?c (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定【考题2】（2009、天津）已知二次函数

b有（ ）

A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0

2 解：A 点拨：a＜0，抛物线开口向下，y?ax?bx?c经过（－1，a－b+c）点，因为a

－b+c＞0，所以（－1，a－b+c）在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，故选A．

2【考题３】（2009、重庆）二次函数y?ax?bx?c的图象如图1－2－10，则

c

点（b， ）在（ ）

a

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

点拨：抛物线开口向下，所以a ＜0, 顶点在y轴右侧，a、b为异号，所以b＞0，抛物线c

交y轴于正半轴，所以c＞0，所以 ＜0，所以 M在第四象限．

a

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考点3：二次函数解析式求法

一、考点讲解：

1．二次函数的三种表示方法：

⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势； ⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：

2⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y?ax?bx?c；将已知的

三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

2⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y?a(x?h)?k其

中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

y?a(x?x1)(x?x2),其中与x轴的交点坐标为（x，0），（x2，0）。 1

解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设y?ax；已知顶点（0，c），即在y轴上时可设y?ax2?c；已知顶点（h，0）即顶点在x轴上可设y?a(x?h)2.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。

2二、经典考题剖析：

【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在ABAMHG

上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时= 。

ADBC(1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

4120-xy

解：⑴∵△AHG ∽△ABC，所以AM?HG，所以 = ，所以y??x?160

1201603ADBC22⑵∵矩形的面积S=xy，∴S=?3x?160x??3(x?120x?3600?3600) =?4(x?60)2?4800,

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