第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。

（1）G?s??K1 ss?1s?30?与???，3?上有根轨迹，渐近线 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴??1，

相角?a??60?,?180?，渐近线与实轴交点?a??1.33，由dK1?0可得出分离点为dS（?0.45,j0），与虚轴交点?j?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。 图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）G?s??K1 2ss?4s?4s?200?上有根轨迹，?a??45,?135，?a??2，分离点 方法步骤同上，实轴??4，??

??2,j0?与??2?j2.5?，与虚轴交点?j?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。 图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，2s(s?1)

并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z??1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？

（1）G?s??K1 s2s?2?实轴???，?2?上有根轨迹，?a??60,?a??0.67，由dK1?0可得出分离点为dS

?0,j0?，与虚轴交点为j0?K1?0?常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K1?0便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹

（2）G?s??K1?s?1? 2ss?2?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??0.5，分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图实轴??2，

A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z??1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?

根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3 K1(s?2)试绘制下列条件下系统的常规2s(s?2s?a)

0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，分离点为??0.38 （1）a=1时，实轴??2，，0?，常

规根轨迹如图图A-4-5（1） Imaginary AxisReal Axis 图A-4-5（1）

? 0?上有根轨迹，?a??90，?a?0，根轨迹与虚轴的交点为（2）a=1.185时，实轴??2，

?0，?j?，常规根轨迹如图图A-4-5（2） Imaginary AxisReal Axis 图A-4-5（2）

0?上有根轨迹，?j?，?a?0，（3）a=3时，实轴??2，根轨迹与虚轴的交点为?0，?a??90?，

常规根轨迹如图图A-4-5（3） Imaginary AxisReal Axis 图A-4-5（3）

4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)?

a=9（3）a=8 (4)a=3 K1(s?1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）2s(s?a)

（1）实轴??10，?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1） Root Locus

Imaginary AxisReal Axis 图A-4-6（1）

?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（2）实轴??9，

j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2） Imaginary Axis

Real Axis 图A-4-6（2）

?1?上有根轨迹，?a??90,?a??3.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（3）实轴??8，?

j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3） Root Locus

Imaginary AxisReal Axis 图A-4-6（3）

?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??1，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（4）实轴??3，

j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4） Imaginary AxisReal Axis 图A-4-6（4）

4-7 设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部反馈对系性 能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。 系统特征方程为 s2??1???s?1?0

以?为可变参数，可将特征方程改写为 1?

从而得到等效开环传递函数 ?ss?s?12?0 Geq(s)??ss?s?12

?0?上有根轨迹?a??180,?a??1，分 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴???，

离点为??1,j0?，出射角为?P??150。参数根轨迹如图A-4-7所示。 ?

图A-4-7 题4-7系统参数根轨迹

（1） 无局部反馈时???0?，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr?1；阻尼比为

??0.5；调节时间为ts?6s?5%?

（2） ??0.2时，esr?1.2，??0.6，ts?5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当??1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,2??1。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。 0?，与?2????1，???有根轨迹，?a??90,?a??1.5，分离点为??1.5，（1）实轴???，?

虚轴交点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）

（2）实轴?0，??????2，?1?有根轨迹，?a?0?，0?，?120?,?a??2，分离点为??1.57，与虚轴交点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2） （3）实轴?0，??????2，?1????4，?3?有根轨迹，?a?0?，?120?,?a??2，虚轴交点为?0，j0.91??K1?5.375?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）

4-9 绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0?K?14.38。 图A-4-9 题4-9系统主根轨迹 Ke??s

4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为G?s?H?s??，试绘制此系统的主根轨s 迹。 Ke??s

由G?s?H?s??知 s

K1?0时系统的根轨迹从开环极点p1?0和????出发，实轴???，0?上有根轨迹，主根轨迹分离点?????1?,j0?；与虚轴交点?j，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。 ?2?2???