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近世代数课后习题参考答案
第五章 扩域
1扩域、素域
1. 证明:F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域.
证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为1)若a,b??
?则一定有a?F(?1,,?2,??n)
b?F(?1,,?2,??m)易知a?b?F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m但
F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m)?? 从而b?a??
2)若a,b??,且b?0则 ?b?F(?1,?2,?,?m)
?1从而有ab?F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m)?
?
２单扩域
１． 令E是域F的一个扩域，而a?F证明a是F上的一个代数元，并且
F(a)?F
证 因a?a?0故a是F上的代数元．其次，因a?F，故
F(a)?F易见F(a)?F，从而F(a)?F
２．令F是有理数域．复数i和
2i?1)是否同构？ i?12i?12 证 易知复数i在F上的极小多项式为x?1,
i?152在F上的极小多项式为x?x?
22i?1) 故这两个域是同构的． 因F(i)?F(i?1F(i)与F(2i?1在F上的极小多项式各是什么？ i?1３．详细证明，定理３中a在域F上的极小多项式是p(x)
证 令?是F(x)中的所有适合条件f(a)?0的多项式作成f(x)的集
合．
1)?是F(x)的一个理想
(ⅰ)若 f(x),g(x)??则f(a)?0,g(a)?0
因而f(a)?g(a)?0 故f(x)?g(x)?? ⅱ)若f(x)??,h(x)是F(x)的任一元
那么h(a)f(a)?0 则h(x)f(x)??
2)是一个主理想
设 p1(x)是?中a！的极小多项式
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那么，对?中任一f(x)有
f(x)?p1(x)q(x)?r(x)
这里r(x)?0或r(x)的次数 但f(a)?p1(a)q(a)?R(x)
因 f(a)?0,p1(a)?0 所以r(a)?0
若 r(x)?0 则与p1x是a的极小多项式矛盾． 故有 f(x)?p1(x)q(x) 因而??(p1(x) （３）因 p(a)=0 故p(x)??
P1(x) 1(x)p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)?ap又p(x),p1(x)的最高系数皆为1那么a?1 这样就是p(x)?P1(x)
４． 证明：定理３中的F(a)?K
证 设f?K,，则在定理３的证明中，K?K之下有．
'f?anx?an?1x??n??n?1???a
?但 a?x,a1?a1 故必f?an?n?an?1?n?1??a0 这就是说k?F(?) 因而F(a)?K
３代数扩域
１．令E是域F的一个代数扩域，而?是E上的一个代数元， 证明?是E上的一个代数元 证 因为?是F上的代数元
所以e0?e1????en?n
又因为E是F的代数扩域，从而F(e0,e1,?en) 是F的代数
扩域，再
有?是F(e0,e1,?en)上的代数元，故F(e0,e1,?en)((?)
F(e0,e1,?,en?1,en)的有限扩域，由本节定理１，知 F(e0,e1,?,en?1,en,?)
是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元．
２．令F,E和L是三个域，并且F???E，假定
(I:F)?m
而E的元?在F上的次数是n，并且(m,n)?1
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证明?在I上的次数也是１ 证 设(I(?):I?r
因为 I(?)?I?F 由本节定理1(I(a):F)?rm 另一方面，因为(F(?):F)(I(?):F 仍由本节定理！！ 即有nrm
但由题设知 (m,n)?1 故 nr
又?在I上的次数是r，因而其在I上的极小多项式的次数是１
?在I上的次数是n，因而其在F上的极小多项式的次数是n
由于?在上的极小多项式能整除?在F上的极小多项式
所以r?n 因而r?n
３．令域！的特征不是２，E是F的扩域，并且
(E:F)?4 证明存在一个满足条件F?I?E的E的二次扩域F的充分与必要条是：
(E:F)?4，而?在F上的极小多项式是x4?ax2?b
证 充分性：
由于?在F上的极小多项式为x?ax?b
22 故a?F及a?F(?)
242 因而(F(a):F)?1 由本节定理１知：
所以 (F(a2):F)?2 这就是说，F(a)是一个满足条件的的二次扩域必要性：
由于存在I满足条件F?I?E且为F的二次扩域
即(1:F)?2因此可得（(E:1)?2 我们容易证明，当F的特征不是２时，且 则 而！在！上的极小多项式是！
2同样 E?I(a)而?在x?f上的极小多项式是
2这样
?2?f,f?F,
22?2?i,i?I
那么i2?f1?2f1f2??f2所以??i
42?
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?f1?2f1f2??f22?2 ?2f12?2f1f2??f22?2
令a??2f1b?f12?f22f
同时可知a,b均属于F???a??b?0 由此容易得到E?F(a0
４．令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元
422?1,?2,??m使E?F(?1,?2,??m)
证 因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个基?1,?2,??n显然这时
E?F(?1,?2,??m)
F所得扩域＂ ５．令F是有理数域，看添加复数于11E1?F(2,2i1)1313E2?F(23,23wi)
证明(F(23)?2,(E1:F)?6
证 易知！在！上的极小多项式是！ 即（F(2):F?3
1323同样2上的极小多项式是x?2x?2?2 即(E2;F(2))?4
由此可得（(E1:F)?6,(F2:F)?12
13423223４多项式的分裂域
１．证明：有理数域F上多项式x?1 的分裂域是一个单扩域F(a) 其中a是x?1的一个根
证 x?1的４个根为
444a0?2i22i22i22i2 ?,a1??,a2???,a3???22222222又a1?a?1;a2??a?1,a3??a
所以F(a,a1,a2,a3)?F(a)
２．令F是有理数域，
3x3?a是F上一个不可约多项式，而a是x3?a
2的一个根，证明F(a)不是x?a在F上的分裂域．
2 证 由于a是x?a的一个根，则另外两个根是a?,a?，这里?，?是
3x2?x?1的根若F(a)是x3?a的在H上的分裂域那么
a?,a?2?F(a)这样，就是F?F(?)?F(a)由3。3定理！有但