1
x＝1，??2x1
解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以?解得x＝2，y＝1，故选D.
1＋i21
??－2x＝－y，6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z＝x＋(x－a)i，若对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，则实数a的取值范围为( )
1??A.?－∞，?
2??
1??B.?－∞，?
2??
?5?C.?，＋∞?
?2?
2
2
2
2
?3?D.?，＋∞?
?2?
解析：选C.因为z＝x＋(x－a)i，且对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|， 所以x＋（x－a）>x＋（x－a＋1）对任意实数x∈(1，2)恒成立． 即2(x－a)＋1<0对任意实数x∈(1，2)恒成立． 1
所以a>x＋(1 2 1?35?5 因为x＋∈?，?，所以a≥. 2?22?2 ?5?所以实数a的取值范围为?，＋∞?.故选C. ?2? 7．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________． 解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，3 所以4t＋3＝0，所以t＝－. 4 3 答案：－ 4 8．(2020·杭州市学军中学联考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝________． 解析：因为z＝－1－i，所以z＝－1＋i， 所以(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 所以|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝10. 答案：10 9．(2020·宁波南三县六校联考)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni， ?m＋ni?＝________． 则???m－ni? ?m＋ni?＝?1＋i?＝ 解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以?????m－ni??1－i? 2 2 2 i＝－1. 答案：－1 4＋2i 10．已知复数z＝2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上， （1＋i）则实数m＝________． 4＋2i4＋2i（4＋2i）i 解析：z＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标2＝2 （1＋i）2i2i为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5. 答案：－5 （1＋2i）＋3（1－i） 11．计算：(1)； 2＋i1－i1＋i(2)2＋2； （1＋i）（1－i）1－3i(3). 2 （3＋i） （1＋2i）＋3（1－i）－3＋4i＋3－3i 解：(1)＝ 2＋i2＋i＝ ii（2－i）12 ＝＝＋i. 2＋i555 2 2 2 1－i1＋i1－i1＋i1＋i－1＋i(2)＋＝＋＝－1. 2＋2＝（1＋i）（1－i）2i－2i－221－3i（3＋i）（－i）－i（－i）（3－i）(3)＝＝＝ 22 4（3＋i）（3＋i）3＋i13 ＝－－i. 44 12．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)i (1)与复数2－12i相等； (2)与复数12＋16i互为共轭复数； (3)对应的点在x轴上方． 解：(1)根据复数相等的充要条件得 ??m＋5m＋6＝2，?2解得m＝－1. ?m－2m－15＝－12，? 2 2 2 (2)根据共轭复数的定义得 ??m＋5m＋6＝12，?2解得m＝1. ?m－2m－15＝－16，? 2 (3)根据复数z对应点在x轴上方可得m－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5. [综合题组练] 2 1．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，下列结论正确的是( ) A．|z－z|＝2y C．|z－z|≥2x B．z＝x＋y D．|z|≤|x|＋|y| 2 2 2 2 2 解析：选D.依次判断各选项，其中A，C错，应为|z－z|＝2|yi|；B错，应为z＝x2 2 2 2 2 2 －y＋2xyi，D正确，因为|z|＝x＋y≤|x|＋|y|＋2|x|·|y|＝（|x|＋|y|）＝|x|＋|y|. 2．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，则的最大值是 ( ) A.3 2 B.3 3 yx1C. 2 D.3 解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，所以y≠0， 又因为|(x－2)＋yi|＝3， 所以(x－2)＋y＝3. 由图的几何意义得，是复数x＋yi对应点的斜率，所以??xtan∠AOB＝3， 所以的最大值为3. 3．若复数z1.z2满足|z1|＝|z2|＝2，|z1＋z2|＝23，则|z1－z2|＝________． 解析：由已知z1，z2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z1－z2|为另一对角线长，如图，易知∠Z1OZ2＝60°，所以|z1－z2|＝2. 2 2 yx?y?＝??max yx 答案：2 22a2 4．已知复数z＝，当a≥2时，|z|＋t|z|＋4>0恒成立，则实数t的取值范围是 1＋i________． 解析：当a≥2时，复数z＝ 22a22a（1－i） ＝＝2a－2ai，|z|＝1＋i（1＋i）（1－i） （2a）＋（－2a）＝2a. 2 －2－2a?1?当a≥2时，|z|＋t|z|＋4>0恒成立，则4a＋2at＋4>0，化为：t>＝－2?a＋?. 2 2 22 a?a? 11 令f(a)＝a＋(a≥2)，f′(a)＝1－2>0， aa5 所以f(a)在a≥2时单调递增，所以a＝2时取得最小值.所以t>－5. 2答案：(－5，＋∞) 5．若虚数z同时满足下列两个条件： 5 ①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数． z这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋za＋bi ＝?a＋55 5（a－bi） a2＋b2?? 5a??5b? i. 2?＋?b－2 a＋b??a＋b2?? 2 55b因为z＋是实数，所以b－2＝0. za＋b2又因为b≠0，所以a＋b＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0.② ???a＋b＋3＝0，?a＝－1，??a＝－2，??由2解得或? 2 ?a＋b＝5，?b＝－2，??b＝－1，?? 2 2 故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.