(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第五章平面向量、复数4第4讲数系的扩充与复数的引入教学案 下载本文

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x=1,??2x1

解析:选D.=(x-xi)=1-yi,所以?解得x=2,y=1,故选D.

1+i21

??-2x=-y,6.(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z=x+(x-a)i,若对任意实数x∈(1,2),恒有|z|>|z+i|,则实数a的取值范围为( )

1??A.?-∞,?

2??

1??B.?-∞,?

2??

?5?C.?,+∞?

?2?

2

2

2

2

?3?D.?,+∞?

?2?

解析:选C.因为z=x+(x-a)i,且对任意实数x∈(1,2),恒有|z|>|z+i|, 所以x+(x-a)>x+(x-a+1)对任意实数x∈(1,2)恒成立. 即2(x-a)+1<0对任意实数x∈(1,2)恒成立. 1

所以a>x+(1

2

1?35?5

因为x+∈?,?,所以a≥.

2?22?2

?5?所以实数a的取值范围为?,+∞?.故选C.

?2?

7.已知t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·z2是实数,则t等于________.

解析:因为z1=3+4i,z2=t+i,所以z1·z2=(3t-4)+(4t+3)i,又z1·z2是实数,3

所以4t+3=0,所以t=-.

4

3

答案:-

4

8.(2020·杭州市学军中学联考)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则|(1-z)·z|=________.

解析:因为z=-1-i,所以z=-1+i, 所以(1-z)·z=(2+i)(-1+i)=-3+i, 所以|(1-z)·z|=|-3+i|=10. 答案:10

9.(2020·宁波南三县六校联考)已知i是虚数单位,m,n∈R,且m(1+i)=1+ni,

?m+ni?=________. 则???m-ni?

?m+ni?=?1+i?=

解析:由m(1+i)=1+ni,得m+mi=1+ni,即m=n=1,所以?????m-ni??1-i?

2

2

2

i=-1.

答案:-1

4+2i

10.已知复数z=2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上,

(1+i)则实数m=________.

4+2i4+2i(4+2i)i

解析:z===1-2i,复数z在复平面内对应的点的坐标2=2

(1+i)2i2i为(1,-2),将其代入x-2y+m=0,得m=-5.

答案:-5

(1+2i)+3(1-i)

11.计算:(1);

2+i1-i1+i(2)2+2; (1+i)(1-i)1-3i(3). 2

(3+i)

(1+2i)+3(1-i)-3+4i+3-3i

解:(1)= 2+i2+i=

ii(2-i)12

==+i. 2+i555

2

2

2

1-i1+i1-i1+i1+i-1+i(2)+=+=-1. 2+2=(1+i)(1-i)2i-2i-221-3i(3+i)(-i)-i(-i)(3-i)(3)=== 22

4(3+i)(3+i)3+i13

=--i.

44

12.实数m分别取什么数值时,复数z=(m+5m+6)+(m-2m-15)i (1)与复数2-12i相等;

(2)与复数12+16i互为共轭复数; (3)对应的点在x轴上方. 解:(1)根据复数相等的充要条件得

??m+5m+6=2,?2解得m=-1. ?m-2m-15=-12,?

2

2

2

(2)根据共轭复数的定义得

??m+5m+6=12,?2解得m=1. ?m-2m-15=-16,?

2

(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m-2m-15>0,解得m<-3或m>5.

[综合题组练]

2

1.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,下列结论正确的是( ) A.|z-z|=2y C.|z-z|≥2x

B.z=x+y D.|z|≤|x|+|y|

2

2

2

2

2

解析:选D.依次判断各选项,其中A,C错,应为|z-z|=2|yi|;B错,应为z=x2

2

2

2

2

2

-y+2xyi,D正确,因为|z|=x+y≤|x|+|y|+2|x|·|y|=(|x|+|y|)=|x|+|y|.

2.若虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为3,则的最大值是 ( ) A.3 2

B.3 3

yx1C. 2

D.3

解析:选D.因为(x-2)+yi是虚数,所以y≠0, 又因为|(x-2)+yi|=3, 所以(x-2)+y=3.

由图的几何意义得,是复数x+yi对应点的斜率,所以??xtan∠AOB=3,

所以的最大值为3.

3.若复数z1.z2满足|z1|=|z2|=2,|z1+z2|=23,则|z1-z2|=________. 解析:由已知z1,z2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上,|z1-z2|为另一对角线长,如图,易知∠Z1OZ2=60°,所以|z1-z2|=2.

2

2

yx?y?=??max

yx

答案:2

22a2

4.已知复数z=,当a≥2时,|z|+t|z|+4>0恒成立,则实数t的取值范围是

1+i________.

解析:当a≥2时,复数z=

22a22a(1-i)

==2a-2ai,|z|=1+i(1+i)(1-i)

(2a)+(-2a)=2a.

2

-2-2a?1?当a≥2时,|z|+t|z|+4>0恒成立,则4a+2at+4>0,化为:t>=-2?a+?.

2

2

22

a?a?

11

令f(a)=a+(a≥2),f′(a)=1-2>0,

aa5

所以f(a)在a≥2时单调递增,所以a=2时取得最小值.所以t>-5.

2答案:(-5,+∞)

5.若虚数z同时满足下列两个条件:

5

①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.

z这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由. 解:这样的虚数存在,z=-1-2i或z=-2-i. 设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),

z+=a+bi+=a+bi+za+bi

=?a+55

5(a-bi)

a2+b2??

5a??5b?

i. 2?+?b-2

a+b??a+b2??

2

55b因为z+是实数,所以b-2=0.

za+b2又因为b≠0,所以a+b=5.①

又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数, 所以a+3+b=0.②

???a+b+3=0,?a=-1,??a=-2,??由2解得或? 2

?a+b=5,?b=-2,??b=-1,??

2

2

故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.