第4讲 数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念 (1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

实数（b＝0），??

?纯虚数（a＝0，b≠0）， ???虚数（b≠0）????非纯虚数（a≠0，b≠0）.(3)复数相等

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数

a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模

→22

向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，a、b∈R)．

2．复数的几何意义

一一对应

(1)复数z＝a＋bi――――→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． →(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――――→ 平面向量OZ． 3．复数的运算

(1)复数的加、减 、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝

一一对应

z1a＋bi（a＋bi）（c－di）ac＋bdbc－ad＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋di（c＋di）（c－di）c2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈C，则a≥0.( )

(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( ) (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( ) (4)方程x＋x＋1＝0没有解．( )

(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [教材衍化]

1＋z1．(选修2-2P106B组T1改编)设复数z满足＝i，则|z|＝________．

1－z解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， i－1－（1－i）z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1. 1＋i2答案：1

→→

2．(选修2-2P112A组T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的→

复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是________．

→→→

解析：CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i

3．(选修2-2P116A组T2改编)若复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．

??x－1＝0，

解析：因为z为纯虚数，所以?所以x＝－1.

?x－1≠0，?

2

2

2

2

2

答案：－1 [易错纠偏]

(1)复数的几何意义不清致误； (2)复数的运算方法不当致使出错； (3)z与z的不清致误．

1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i C．2＋4i

B．8＋2i D．4＋i

解析：选C.因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.

2＋ai

2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝________．

1＋i

2＋ai

解析：由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，

1＋i所以a＝4.

答案：4

3．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．

4＋3i（4＋3i）（1－2i）10－5i

解析：因为z＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i.

1＋2i（1＋2i）（1－2i）5答案：2＋i

复数的有关概念

(1)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R； zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2； p4：若复数z∈R，则z∈R.

其中的真命题为( ) A．p1，p3 C．p2，p3

2

1

B．p1，p4 D．p2，p4

2

2

(2)已知a，b∈R，(a＋bi)＝3＋4i(i是虚数单位)，则a＋b＝________，ab＝________． 11a－bi【解析】 (1)对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝2∈R，得b＝0，

za＋bia＋b2则z∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z＝a－b＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题

2

2

2

p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，

得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B.

(2)因为(a＋bi)＝a－b＋2abi＝3＋4i，

???a－b＝3，?a＝2，??a＝－2，所以?所以?或?

?2ab＝4，?b＝1?b＝－1，???

2

2

2

2

2

所以a＋b＝5，ab＝2. 【答案】 (1)B (2)5 2

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

2－i

1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)设复数z＝，则z的共轭复数为( )

1＋i13

A.－i 22C．1－3i

13B.＋i 22D．1＋3i

22

2＋i（2＋i）（1＋i）13

解析：选B.z＝＝＝＋i.

1－i2222．(2020·浙江省高中学科基础测试)已知复数

a＋2i

1＋i

(i是虚数单位)是纯虚数，则实数

a＝( )

A．－2 B．－1 解析：选A.

C．0 D．2

a＋2ia＋22－a1＋i

＝

2＋

2

i，由

a＋2i

1＋i

是纯虚数得

a＋2

2

＝0，所以a＝－2，故选A.

复数的几何意义

(1)(2020·台州模拟)复数z＝

( )

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

3＋i

＋3i在复平面内对应的点所在的象限为1＋i

5i

(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为

1＋2i( )

A．1＋2i C．－2＋i

B．1－2i D．2＋i

→→

(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝( )