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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

1?2i? 1?2i43A．??i

55

243B．??i

55

34C．??i

55

34D．??i

552．已知集合A?A．9

??x，y?x

?y2≤3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为 B．8

C．5

D．4

?ex?e?x3．函数f?x??的图像大致为

x2

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4

B．3

C．2

D．0

x2y25．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为

abA．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 B．y??3x

C．y??32x x D．y??22C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 C．29 D．25

7．为计算S?1?11111???…??，设计了右侧的程序框图，23499100开始N?0,T?0i?1是1ii?100否则在空白框中应填入 A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4

N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?18．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．

1 12 B．

1 14 C．

1 15 D．

1 189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 210．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是

A．

π 4 B．

π 2 C．

3π 4

D．π

11．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则

f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?

A．?50 B．0 C．2 D．50

x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率

ab为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 62 3A． B．

1 2

1C．

3 D．

1 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

?x?2y?5?0，?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3?0， 则z?x?y的最大值为__________．

?x?5?0，?

15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面8

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据???30.4?13.5t；根据2，…，17）建立模型①：y2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，??99?17.5t． 2…，7）建立模型②：y2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，，（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网 19．（12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点． （1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

P

OBMAC21．（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为

?y?4sinθ?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若f(x)?1，求a的取值范围．