设直线AB的解析式为y=﹣x+c， ∴A（c，0），B（0，c）， ∴OA=OB=c， 过点Q作QE⊥x轴， ∴OB∥QE， ∴△AOB∽△AEQ， ∴

=

，

∵BQ=2AB， ∴AQ=3AB， ∴

，

∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c， ∴OE=AE﹣OA=2c， ∵点Q在第二象限， ∴Q（﹣2c，3c），

∵点Q在双曲线y=﹣上， ∴﹣2c×3c=﹣6， ∴c=﹣1（舍）或c=1； （3）如图2，

由（2）知，c=1，

∴A（1，0），B（0，1），Q（﹣2，3）， ∴直线OQ的解析式为y=﹣x， 由旋转知，CQ=OQ，OQ⊥CQ， ∴直线CQ的解析式为y=x+∴D（0，

），

），

，

设C（n， n+∵Q（﹣2，3），

∴OQ2=13，CQ2=（n+2）2+（n+∴13=

（n+2），

2

﹣3）2=（n+2）2，

∴n=﹣5（舍）或n=1， ∴C（1，5）， ∵A（1，0）， ∴AC=5，

∵B（0，1），D（0，∴BD=

﹣1=

，

），

∴BD：AC=

：5=2：3．

25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半

径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E． （1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． （2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；

（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，利用垂径定理得到BF=CF=明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y与x的关系式； （2）先利用勾股定理计算出OB=（y+x）2=（

x，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=

y，则根据勾股定理得到x2+

=，再利用正切的定义得到OF=x，然后证

y）2，所以y=5x或y=﹣x（舍去），则=5x，然后解方程求出x即可；

（3）讨论：当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，根据圆周角定理得到AC为直径，即点D与点C重合，易得x=，于是得到此时tan∠ADB=2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，则OH=BF=x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x﹣5）2+（x）2=52，然后解方程求出x，则可得到tan∠AOH=，再证明∠ADB=∠AOH，从而得到tan∠ADB的值．

【解答】解：（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，则BF=CF=∴DF=y+，

在Rt△BFO中，∵tan∠OBM=∴OF=x， ∵AB⊥BM， ∴OF∥AB， ∴△OFD∽△ABD， ∴

=

，即=

，

=2，

=，

∴y=（＜x＜5）；

（2）在Rt△OBF中，OB=∵BC=CE， 而OB=OC=OE，

∴△OBC和△OCD为全等的等腰三角形， ∴∠OCB=∠OEC， ∴∠OCD=∠CED， 而∠CDE=∠ODC， ∴△DEC∽△DCO， ∴

=

，即

=

，

=

x，

∴OD=y，

在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2， ∴x+（y+x）=（

2

2

y），

2

整理得y2﹣4xy﹣5x2=0， ∴y=5x或y=﹣x（舍去）， ∴

=5x，解得x1=0（舍去），x2=

；

，

即BC的长为

（3）当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，则AC为直径，点D与点C重合，OF=AB，即x=，

∴tan∠ADB==2；

当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形， ∴OH=BF=x，BH=OF=x， 在Rt△OHA中，∵AH+OH=OA， ∴（x﹣5）2+（x）2=52， 解得x1=0（舍去），x2=8， ∴tan∠AOH=

=

=，

2

2

2