又limx??1f(x)?limx2x??11?x??，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因limf(x)?x??x?1， 且lim(x??f(x)?x)?limx2?x????1?x?x????1， 故曲线另有一斜渐近线y=x－1.

综上所述，曲线图形为：

(4)y?e?(x?1)2.

解：函数定义域为(－∞，+∞) .

y???2(x?1)e?(x?1)2

y???e?(x?1)2?2(2x2?4x?1)令y??0，得x=1.

令y???0，得x?1?22. 当x?(??,1]时，y??0,函数单调增加； 当x?[1,??)时，y??0,函数单调减少；

当x?(??,1?22]?[1?22,??)时，y???0，曲线是凹的； 当x?[1?22,1?22]时，y???0，曲线是凸的, 故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：A(1?2?12?12,e2),B(1?2,e2)， 又limx??f(x)?0，故曲线有水平渐近线y=0.

82

图形如下：

25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族

y?建立了动物的生长模型.

A,???x???,A,B,C?0

1?Be?cx(1) 画出B=1时的曲线g(x)?示某种动物数量)？

A的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表?cx1?eAce?cx解：g?(x)??0，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加，

(1?e?cx)2?Ac2e?cx?Ac2e?cx?2(1?e?cx)?e?cx?Ac2e?cx(1?e?2cx) g??(x)???cx4?cx4(1?e)(1?e)当x>0时，g??(x)?0,g(x)在(0，+∞)内是凸的. 当x<0时，g??(x)?0,g(x)在(－∞，0)内是凹的. 当x=0时，g(x)?

且limg(x)?0,limg(x)?A.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特

x???x???A. 2定环境中)最大值，即承载容量.如图：

(2) 计算g(－x)+g(x)，并说明该和的意义；

AA??A. cx?cx1?e1?eA(3) 证明：曲线y?是对g(x)的图像所作的平移.

1?Be?cxAA?证明：∵y?

1?Be?c(x?T)1?Be?cxe?cT解：g(?x)?g(x)? 83

取Be?cT?1，得T?lnB c即曲线y?AlnBT?是对g(x)的图像沿水平方向作了个单位的平移. ?cx1?Bec43drπr, A?πr2, ?v. 3dt26. 球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： V?dVdVdr???4πr2?vdtdrdt

dAdAdr???8πr?vdtdrdt27. 一点沿对数螺线r?e运动，它的极径以角速度?旋转，试求极径变化率. 解：

a?drdrd????ea??a???a?ea?. dtd?dt28. 一点沿曲线r?2acos?运动，它的极径以角速度?旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.

?x?2acos2?解： ?

?y?2acos?sin??asin2?dxdxd????2a?2cos??(?sin?)????2a?sin2?,dtd?dt

dydyd????2acos2????2a?cos?.dtd?dt29. 椭圆16x?9y?400上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程16x?9y?400两边同时对t求导，得

222232x?由?dxdy?18y??0 dtdtdxdy16?x . 得 18y?32x, y?dtdt9162代入椭圆方程得：x?9，x??3, y??.

3即所求点为?3,16??16??,?3,????. 33????3

－1

30. 一个水槽长12m，横截面是等边三角形，其边长为2m，水以3m·min的速度注入水槽

内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h时，横截面为

84

12hh2 s???h?233h2122体积为 V?sh???12?h?43h2

33dVdh?43?2h? dtdtdV?3m3?min?1. 当h=0.5m时，dtdh故有 3?43?2?0.5，

dt得

dh33－1

(m·min). ?dt4－1

－1

31. 某人走过一桥的速度为4km·h，同时一船在此人底下以8 km·h

比船高200m，求3min后，人与船相离的速度. 解：设t小时后，人与船相距s公里，则

的速度划过，此桥

s?(4t)2?(8t)2?(0.2)2?80t2?0.04.ds80t?.2dt80t?0.04且

20ds??8.16 (km·h －1)

dtt?16202

－1

32. 一动点沿抛物线y=x运动，它沿x轴方向的分速度为3 cm·s，求动点在点(2，4)时，

沿y轴的分速度. 解： 当x=2时，

dydydx???2x?3?6x. dtdxdtdy?6?2?12 (cm·s－1). dt5－1

33. 设一路灯高4 m，一人高m，若人以56 m·min的等速沿直线离开灯柱，证明：人影

3的长度以常速增长.

证明：如图，设在t时刻，人影的长度为y m.

5y则 3?

4y?56t化简得 7y?280t, y?40t, dy?40(m·min－1). dt即人影的长度的增长率为常值.

2

34. 计算抛物线y=4x－x在它的顶点处的曲率.

2

解：y=－(x－2)+4，故抛物线顶点为(2，4)

85