x?yx?y1ln?(xlnx?ylny)， 222x?y即 xlnx?ylny?(x?y)ln.
2即 18. 求下列曲线的拐点：
(1) x?t2,y?3t?t3;
dy3?3t2d2y3(t2?1)?, 2?解： dx2tdx4t3d2y令2?0，得t=1或t=－1 dx则x=1，y=4或x=1，y=－4
d2y当t>1或t<－1时，2?0，曲线是凹的，
dxd2y当0 dx故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). 2 (2) x=2acotθ， y=2asinθ. 解： dy2a?2sin??cos????2sin3?cos? 2dx2a?(?csc?)d2y11224?(?6sin?cos??2sin?)???sin4?cos2(3?tan2?) 22dx2a(?csc?)aππd2y令2?0，得??或???， 33dxππd2y不妨设a>0，不失一般性，当3?tan???3时，即????时，2?0， 33dxππd2y当tan??3或tan???3时，即???或??时，2?0, 33dx故当参数?? ππ?233??233?或???时，都是y的拐点，且拐点为?a,a?及??a,a?. 332??32??319. 试证明：曲线y?x?1有三个拐点位于同一直线上. x2?1?x2?2x?1证明：y??， 22(x?1) 78 y???2(x?1)(x?2?3)(x?2?3) (x2?1)3令y???0，得x??1,x?2?3,x?2?3 当x?(??,?1)时，y???0； 当x?(?1,2?3)时y???0； 当x?(2?3,2?3)时y???0； 当x?(2?3,??)时y???0, 因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2?3,?1?3?1?3),(2?3,). 441?1因为 ?1?1?3=0 4?1?3412?312?3因此三个拐点在一条直线上. 32 20. 问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax+bx的拐点？ 2 解：y′=3ax+2bx, y″=6ax+2b 依题意有 ?a?b?3 ?6a?2b?0?解得 a??39,b?. 223 2 21. 试决定曲线y=ax+bx+cx+d中的a，b，c，d，使得x=－2处曲线有水平切线，(1，－ 10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 32 解：令f(x)= ax+bx+cx+d 联立f(－2)=44，f ′(－2)=0，f(1)=－10，f ″(1)=0 可解得a=1，b=－3，c=－24，d=16. 22. 试决定y?k(x?3)中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：y??4kx(x?3), y???12k(x?1) 令y???0，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k， 只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点. 2222 79 y?x??1??8k，那么拐点处的法线斜率等于?由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此 11x. ，法线方程为y??8k8k4k??1, 得32k2?1, 32k2??1(舍去) 8k故 k??12. ??83223. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f?(x0)?0,f??(x0)?0，而 f???(x0)?0，试问x=x0是否为极值点?为什么？又(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？ 答：因f?(x0)?f??(x0)?0，且f???(x0)?0，则x=x0不是极值点.又在U(x0,?)中， ????(?f??(x)?f??(x?(x?x)(x?0x)???f?(，故)f??(x)在x0左侧与f???(x0)异号，在0)0)f?x0右侧与f???(x0)同号，故f(x)在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即(x0,f(x0))是拐点. 24. 作出下列函数的图形： (1)f(x)?x； 1?x2解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数, 1?x2?2x21?x2y???22(1?x)(1?x2)2y???2x(x?3)(1?x2)32 令y??0，可得x??1， 令y???0，得x=0，?3, 列表讨论如下： 3 x 0 (0，1) 1 y′ + 0 y″ 0 － － y 0 极大 当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线. 函数有极大值f(1)?(1，3) (3，+∞) － － － 0 拐点 － + 11?3?,(0，0)，，极小值f(?1)??，有3个拐点，分别为??3,? ?22?4??3?，作图如上所示. 3,???4?(2) f(x)=x－2arctanx 80 解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数, 21?x2 4xy???(1?x2)2y??1?令y′=0，可得x=±1， 令y″=0，可得x=0. 列表讨论如下： x y′ y″ y 又 0 0 0 (0，1) － + 1 0 极小 (1，∞) + + limx???x??f(x)2?lim(1?arctanx)?1 x??xxx???且 lim[f(x)?x]?lim(?2arctanx)??π 故y?x?π是斜渐近线，由对称性知y?x?π亦是渐近线.函数有极小值y(1)?1?大值y(?1)?π，极2π?1.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2x2(3) f(x)?； 1?x解：函数的定义域为x?R,x??1. 2x(1?x)?x2x(x?2)y??? (x??1)(1?x)2(1?x)2 2y???(1?x)3令y??0得x=0，x=－2 当x?(??,?2]时，y??0,f(x)单调增加； 当x?[?2,?1)时，y??0,f(x)单调减少； 当x?(?1,0]时，y??0,f(x)单调减少； 当x?[0,??)时，y??0,f(x)单调增加, 故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0 81