解: y?3?x?1?x(x2?x?1,y??x?2)(x2?x?1)2, 令y??0，得驻点x1??2,x2?0.

???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)(x2?x?1)3 y??x??2?0,y??x?0?0,

故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?83. (9) y?excosx； 解: y??ex(cosx?sinx), 令y??0，得驻点xπk?kπ?4 (k?0,?1,?2,?). y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??x?(2k?1)π?π?0，

44π22kπ?π故x2k?2kπ?4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?2e4;

xk?1)π?π2(2k?1)π?π2k?1?(244 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)??2e.

1(10) y?xx；

1解: y??xx(111?lnxxlnx)??xxx2,

令y??0，得驻点x?e.

当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1故极大值为y(e)?ee. (11) y?2ex?e?x；

解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln22. y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,

2 70

故极小值为y(?ln2)?22. 223(12) y?2?(x?1)； 解: y???21，无驻点. y的定义域为(??,??)，且y在x=1处不可导，当x>1时

33x?1y??0，当x<1时， y??0，故有极大值为y(1)?2.

(13) y?3?2(x?1)； 解: y???1321.无驻点.y在x??1处不可导，但y?恒小于0，故y无极值.

33(x?1)2(14) y?x?tanx.

解: y??1?sec2x?0, y为严格单调增加函数，无极值点.

5. 试证明：如果函数y?ax3?bx2?cx?d满足条件b?3ac?0，那么这函数没有极值. 证明：y??3ax2?2bx?c，令y??0，得方程3ax?2bx?c?0，

由于 ??(2b)2?4(3a)c?4(b2?3ac)?0，那么y??0无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

6. 试问a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?极小值？并求此极值. 解：f(x)为可导函数，故在x?2213π处取得极值？它是极大值还是3π处取得极值，必有 3π?0，得a=2. f?()?(acosx?cos3x)π3x?3又 f??()?(?2sinx?3sin3x)π3πx?3??3?0，

所以x?ππ是极大值点，极大值为f()?3. 3354, x?(??,0)； x7. 求下列函数的最大值、最小值：

(1) f(x)?x2?2(x3?27)?0，得唯一驻点x=－3 解：y的定义域为(??,0)，y??x2且当x?(??,?3]时，y??0，y单调递减；当x?[?3,0)时，y??0，y单调递增,

71

因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27. 又limf(x)???，故f(x)无最大值.

x???(2) f(x)?x?1?x, x?[?5,1]；

解：y??1?31?0，在(?5,1)上得唯一驻点x?，

421?x又 y????3??4?5, y(1)?1, y(?5)?6?5, 45，最小值为6?5. 4故函数f(x)在[－5，1]上的最大值为

(3) y?x4?8x2?2, ?1?x?3.

解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，

而 y(－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 8. 设a为非零常数，b为正常数，求y=ax+bx在以0和小值.

解：y??2ax?b?0得x??2

b为端点的闭区间上的最大值和最abb不可能属于以0和为端点的闭区间上, 2aa2?b?2b,

而 y(0)?0, y???a?a?b?2b2?故当a>0时，函数的最大值为y???，最小值为y(0)?0;

a?a?b?2b2?当a<0时，函数的最大值为y(0)?0，最小值为y???.

a?a?9. 求数列??n?的最大的项.

??n?1000?x,

x?10001(x?1000)?x(x?1000)2?x?1000?2x1000?x? 222x(x?1000)2x(x?1000)解：令y?y??2x令y??0得x=1000.因为在(0，1000)上y??0，在(1000,??)上y??0,

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所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点，ymax?y(1000)?10002000. 故数列??n?的最大项为?n?1000??a1000?10002000.

10. 已知a>0，试证：f(x)?1121?x?1?x?a的最大值为?a1?a. ??111?x?1?x?a,x?0?证明： f(x)???1?1,?1?x1?x?a0?x?a

??1?1?x?11?x?a,x?a当x<0时，f?(x)?1?1?x?2?1?1?x?a?2?0;

当0

此时令f?(x)?0，得驻点x?af??a??2???42，且2?a， 当x>a时，f?(x)??1?1?x?2?1?1?x?a?2?0,

又limf(x)?2?ax??0，且f(0)?f(a)?1?a. 而f(x)的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

故 f(x)4max??2?a,2?a1?a,0??2?a1?a. 11. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

, 则圆柱体底圆半径为r2?h2解：设圆柱体的高为h4，

2V?π?2??r2?h?4???h?πr2h?π4h3

令V??0, 得h?233r.

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