27.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S． ①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围； ②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
28.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
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(1)分别判断函数y=x-1，y=x,y=x有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； (2)函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .
29.如图,直线y=0.5x与抛物线y=ax2＋b(a≠0)交于点A(-4,-2)和B(6,3),抛物线与y轴的交点为C． (1)求这个抛物线的解析式；
(2)在抛物线上存在点M，使△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积是△ABC的面积的四分之三？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0,-3)，动点P在抛物线上．
（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连 接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
参考答案
1.（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°． ∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC， ∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°． ∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴
的长=
=
=π．
2.（1）证明：如图连接OD．
∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC， 在△COD和△COA中，
，∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°， ∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBO=60°， ∵∠DBO=∠F+∠FDB，∴∠FDB=∠EDC=30°， ∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，∴EC=ED=BO=DB，∵EB=4，∴OB=OD═OA=2， 在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，∴AC=OA?tan60°=2，
∴S阴=2?S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣．
3.（1）证明：连接CO，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠FAB，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD， ∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BC，在Rt△ACE中，AC==∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴
=
，∴
，
=
，
∴AB=5，∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．
4.证明：连接OB，
∵OA=OB，CD=DB，∴∠OAC=∠OBC，∠DCB=∠DBC．
∵∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO=∠DCB，∴∠OBC+∠DBC=90°． ∴OB⊥BD．即BD是⊙O的切线． （2）BD=4.
5.（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD； （2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵CD⊥AB，∴弧BD=弧BC，∴∠BPD=∠CAB， ∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即
=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．
6.（1）证明：连接OC，如图所示：