习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 第六章 杆类构件的内力分析

习 题

6.1 试求图示结构1-1和2-2截面上的内力，指出AB和CD两杆的变形属于哪类基本变形，并说明依据。

解：（a）应用截面法：对题的图取截面2-2以下部分为研究对象，受力图如图一所示：

FN22FN6kN6kNA1m1mC1mB

MFSOC1m1mB

图一 图二 由平衡条件得：

?MA?0, 6?3?FN?2?0 解得： FN=9KN

CD杆的变形属于拉伸变形。

应用截面法，取题所示截面1-1以右及2-2以下部分作为研究对象，其受力图如图二所示，由平衡条件有：

?MO?0, 6?2?FN?1?M?0 （1）

y

?F?0, FN?FS?6?0 （2）

将FN=9KN代入（1）-（2）式，得：M=3 kN·m FS=3 KN AB杆属于弯曲变形。

（b）应用截面法 ，取1-1以上部分作为研究对象，受力图如图三所示，由平衡条件有：

B2kNC1mD?Fx?0,F?MDN?2?0 FN=2KN

?0, M?2?1?0 M=2KN

FNMAB杆属于弯曲变形

6.2 求图示结构中拉杆AB的轴力。设由AB连接的1和2两部分均为刚体。 解：首先根据刚体系的平衡条件，求出AB杆的内力。刚体1的受力图如图一所示

31

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 4m10kN4m4mDCDFRCx1FRCy4mFDFDFREy2FRExEFNA2mFN

B

图一 图二 平衡条件为：

?MC?0, 10?4?FD??8FN??4 0 （1）

刚体2受力图如图二所示，平衡条件为：

?ME?0, FN?2?FD?4?0 （2）

解以上两式有AB杆内的轴力为： FN=5KN

6.3 试求图示各杆件1-1、2-2和3-3截面上的轴力，并做轴力图。

解：（a） 如图所示，解除约束，代之以约束反力，做受力图，如图a1所示。利用静力平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图a1中，作杆左端面的外法线n，将受力图中各力标以正负号，轴力图是平行于杆轴线的直线，轴力图线在有轴向力作用处要发生突变，突变量等于该处总用力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，轴力图如a2所示，截面1和截面2上的轴力分别为FN1=-2KN FN2=-8KN，

16kNB（a）228kNC4kNA112kNB222kNCD4kNAn2kNA1116kNB228kNC（b）6kN6kNB（b1）(a1)C2kN(a2)_8kN4kN

6kN+（b2）6kN4kN

（b）解题步骤和（a）相同，杆的受力图和轴力图如（b1）（b2）所示，截面1和截面2

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习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 上的轴力分别为FN1=4KN FN2=6KN

（c）解题步骤和（a）相同，杆的受力图和轴力图如（c1）（c2）所示，截面1，截面2和截面3上的轴力分别为FN1=3F FN2=4F，FN3=4F

1FB（c）234FD4F2kNA2kNA2kN

122kND2kNA3F12C31（d）2FB（c1）CD3F4F（d1）D+

（c2）+（d2）

（d）解题步骤和（a）相同，杆的受力图和轴力图如（d1）（d2）所示，截面1和截面2 上的轴力分别为FN1=2KN FN2=2KN

6.4 求图示各轴1-1、2-2截面上的扭矩，并做各轴的扭矩图。

解（a）如图所示，分别沿1-1，2-2截面将杆截开，受力图如a1所示，用右手螺旋法则，并用平衡条件可分别求得：

T1=16 kN·m T2=-20 kN·m，根据杆各段扭矩值做出扭矩图如a2所示。

136kNm220kNm3kNm15kNm22kNm1(a)2120kNm(b)21n136kNm1n5kN?m2kN?m2kN?mT1220kNmT11(b1)216kN·m(a)12T2_2+3kN·m_(a)2++20kN·m(b2)

33

2kN·m

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 b）用和（a）相同的办法求，如图b1所示，用平衡条件可分别求得： T1=-3kN·m T2=2 kN·m 根据杆各段扭矩值自左向右做出扭矩图如b2所示

6.5 图示等截面圆轴上安装有4个皮带轮，其中D轮为主动轮，由此输入功率100kW。轴的转速为n?300r/min。轮A、B及C均为从动轮，其输出功率分别为25kW、35kW、

40kW。试讨论：

1）图示截面1-1、2-2处的扭矩大小，作出该轴的扭矩图；

2）试问各轮间的这种位置关系是否合理，若各轮位置可调，应当怎样布置？（提示：应当使得轴内最大扭矩最小） 解：（1）各轮的外力偶矩分别为：

2535N?m?795.83N?m MB?9550N?m?1114.17N?m 30030040100 MC?9550N?m?1273.33N?m MD?9550N?m?3183.33N?m

300300MA?9550根据右手螺旋法则，并以左端面的外法线n的正向为

标准，凡是与n的正向一致的标以正号， 反之标以负号，以图（a）所示，自左向右画扭矩图，如图（b）所示

（2）不合理，由上面扭矩图可看出，在CD段时，杆件的扭矩达到最大值，在这种扭矩作用下，构件很容易被破坏，若用强度较大的杆件，则AB与BC的扭力又远小于CD段的扭力，故工程上一般将C轮与D 轮互换，得轴内最大扭矩最小，也就是说，一般主动轮处于各轮的中间位置，以降低其扭矩。

6.6 试求图示各梁中指定控制面上的剪力、弯矩值。 解：（a）如图所示 解法一 截面法

欲求1-1截面的内力，可沿1-1截面将梁截开，取右部分为研究对象，受力图如a1所示，截面上的内力按剪力和弯矩正负符号的规定设为正的，利用平衡条件有：

795.83N·m1910N·m3183.33N·m(b)nMAMB·(a)MCMD_F12AB112CFS1F1（a1）22（a2）C?Fy?0, FS1?F?0 FS1?F M1?0

求2-2截面的内力时，可沿2-2截面 将梁展开，求右部分为研究对象，受 力图如a2所示，由于杆上无任何受力

情况，因此截面2-2的受力情况为：FS2?0 M2?0

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C 习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 解法二：外力简化法

梁任意截面上的剪力和弯矩都是梁的内力，根据平衡条件，它们应分别与该截面以左（或以右）梁上所有外力向截面形心简化后的主矢和主矩大小相等，方向相反。因此任意截面上的剪力等于该截面以左（或以右）梁上所有外力的代数和，使截面形心又顺时针转动趋势的外力取正值，反之取负值。梁任意截面上的弯矩等于该截面以左（或以右）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和，使梁弯曲后曲率为正之矩取正值，反之取负值。所以

截面1-1的内力 FS1?F M1?0 截面2-2的内力 FS2?0 M2?0

（b）解法同（a）一样，先解除支座约束，代之以约束反力，作受力图，利用静力学平衡条件得

MM FA?e FB??e

2a2aMM截面1-1的内力 FS1?e M1?e

2a2MM截面2-2的内力 FS2?e M2??e

2a2MM 截面3-3的内力 FS3?e M3??e

2a2（c） 解题思路如（a）一样解除支座约束，代之以约束反力，利用静力学平衡条件得

MeA1FA12C23B aaFBFA?aq3aq FC? 442A12qFA1aqaq截面1-1的内力 FS1? M1?

44a2qaq截面2-2的内力 FS2? M2?

44（d）解题思路如（a）一样解除支座约束，代之以约束反力，利用静力学平衡条件得

aB2aFCC qa2A12qCa33 aqaq FB? 22aq2截面1-1的内力 FS1? M1??aq

2FA?截面2-2的内力 FS2?aq M2??aq 截面3-3的内力 FS3?0 M3?0

（e）解题思路如（a）一样解除支座约束，代之以约束反力，

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2FA1Ba2FBMAqa212qCaAFAaB12习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 利用静力学平衡条件得

FA?2aq MA??12 aq2FA112 aq232截面2-2的内力 FS2?2aq M2??aq（f）

2截面1-1的内力 FS1?2aq M1??（f）解题思路如（a）一样解除支座约束，代之以约

FA1aFB22BCa束反力，利用静力学平衡条件得 FA??F FB?2F

截面1-1的内力 FS1?F M1??aF 截面2-2的内力 FS2??F M2?aF 6.7 试写出图示各梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解：（a）列剪力方程和弯矩方程。

应用前一题提供的列剪力和弯矩方程的方法。 FA?F MA?0 AB段： FS?x??F （0＜x＜a） ，M?x??Fx (0＜x＜a) BC段： FS?x??0 （a≤x≤2a） ，M?x??Fa （a≤x＜2a） 作剪力图于弯矩图如图a1所示

yFBFaCxyMqBqaFAAQFAAa+aaaC2aqQFx+OOMaqxMOFa+（a1（_a2q(b1)xx5a2q/2

5a2q（b）列剪力和弯矩方程 FA?2aq MA??

2AB段： FS?52x2qx??2aq?q x （0＜x＜a） ，M?x??2aqx?aq? (0＜x＜a)

222BC段： FS?x??aq （a≤x≤2a） ， M?x??aqx?2aq （a≤x＜2a） 作剪力图于弯矩图如图b1所示

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习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 （c）列剪力和弯矩方程FA?F FC?0

AB段： FS?x??F （0≤x＜a） ，M?x??Fx （0≤x＜a） BC段： FS?x??0 （a＜x＜2a） ，M?x??0 （a＜x＜2a） 作剪力图于弯矩图如图c1所示

yFaFCBxFcyAFAFAMeAaMexBaCFcaQFaOQMe/a+OMO+Mxx+FaxO_Me（d1）_Mex（c1）

(d) 列剪力和弯矩方程 FA?AB段： FS?x??MeM FC??e aaMeM （0＜x＜a） ，M?x??ex?Me （0＜x＜a） aaMMBC段： FS?x??e （a≤x＜2a） ，M?x??ex?2Me （a＜x≤2a）

aa作剪力图于弯矩图如图d1所示 (e) 列剪力和弯矩方程 ，FA?AB段： FS?x??BC段： FS?3aqaq FC? 44331 aq?qx （0＜x≤a） ，M?x??aqx?x2q （0≤x≤a）

4421121 （a≤x＜2a） ，M?x??aq?aqx （a≤x≤2a） x???aq424qAFA作剪力图于弯矩图如图e1所示 (f) 列剪力和弯矩方程

qa2Baaq1 FB?aq FA?221AB段： FS?x??aq （0＜x≤a）

21M?x??aqx?aq （0＜x≤a）

2BC段：FS?x??2aq?qx（a≤x＜2a）

aQOFcCqBFBaaCAFA3aq/4_+Qaq+x3a/4MO9a2q/32+（e1）aq/4xOMOx_xa2q/2（f1） 37

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 1M?x??2aqx?2a2q?x2q （a≤x＜2a） 作剪力图于弯矩图如图f1所示

22F?PF?2P(g) 列剪力和弯矩方程 FA? FD?

332F?P2F?PAB段： FS?x?? （0＜x≤a） ，M?x??x （0＜x≤a）

33?F?PF?PBC段： FS?x?? （a≤x＜2a） ，M?x??Fa?x （a≤x＜2a）

33?F?2P2P?FCD段： FS?x?? （2a≤x＜3a） ，M?x??Fa? x?2aq（2a≤x＜3a）

33作剪力图于弯矩图如图g1所示

FAFAFAqqBaaq/2+a2q/8Baa2F-P3CFDPaDAaCFcQO+_a2F-Pa3-F-P3F-2Pa3xQO2P-F3_aq/2M_xaq/2+xMO+（g1）+xO_a2q/8

（h1）

(h) 列剪力和弯矩方程 FA??aqaq FC? 22x2qaqaq?x （0≤x≤a） AB段： FS?x??xq? （0＜x＜a） M?x??2223aqx2q3aqx??a2q （a≤x≤2a） BC段： FS?x???xq （a＜x＜2a） M?x??222作剪力图于弯矩图如图h1所示

(i) 列剪力和弯矩方程FB?20KN FC?20KN

5x2AB段： FS?x???5x （0≤x＜2m） M?x??? （0≤x≤2m）

2?3 0 （2m≤x≤3m） BC段： FS?x??10 （2m＜x＜3m） M?x??10x 38

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 10x?30CD段： FS?x???10 （3m＜x＜4m） M?x??? （3m≤x≤4m）

DE段： FS?x??10?5x（4m＜x≤6m） M?x???90?30x?作剪力图于弯矩图如图i1所示

52x （4m≤x≤6m） 25kN/mAFNB20kN5kN/mC1m1mFNDBD2mEFAFA2mFCFDaDBaaQOMO_10+1010_+10xQO+FFa+（j1）__xMOF_xx10（i1）10

（j）列剪力和弯矩方程FA?F FD?F

AB段： FS?x??F （0＜x＜a） M?x??Fx （0≤x≤a） BC段： FS?x??0 （a＜x＜2a） M?x??Fa （a≤x≤2a） CD段： FS?x???F 2a＜x＜3a） M?x??3Fa?Fx （2a≤x≤3a） 作剪力图于弯矩图如图j1所示

6.8 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。（已知梁上无集中力偶作用）

解：（a）如图所示，根据集度载荷，剪力，弯矩间的关系，从左向右观察剪力图，因为前两段的剪力图为水平线，所以该两段内的q=0，即无分布载荷，第三段的剪力图为斜直线，斜率为负，所以该段上作用有指向朝下的均布荷载，并且三段的始末都有剪力突变，说明这些地方有集中力的作

O4kN3kNMq=1KN/m2kN（a1）2kN2kNMOq=0.5kN/m（b1）3kN6kN?m4.5kN?m4kN?m+（a2）2kN?m+（b2）xx用，方向顺着突变的方向，大小为剪力图在该处的突变值。因此，从左向右剪力突变依次为：向上的3KN，向下的4KN，向上的2KN向上的3KN，载荷图如a1所示，根据载荷图和剪力图，作弯矩图如a2所示

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习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 10kN20kN（c1）MO20kN2.5kN?m+10kN1kN2kN/md11kN?m1.25kN+O?m5kNx_x2.5kN?m（c2）

（d2）_1kN?m

仿照图（a）的方法，解（b）（c）（d）,做出载荷图，弯矩图如b1,b2,c1,c2,d1,d2所示。

第七章 杆类构件的应力分析与强度计算

7.1 图示阶梯形圆截面杆AC，承受轴向载荷F1?200 kN与F2?100 kN, AB段的直径

d1?40mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。

解：如图所示：物体仅受轴力的作用，在有两个作用力的情况下经分析受力情况有： AB段受力：FNAB?F1 BC段受力：FNBC?F1?F2 AB段正应力：?AB?BC段正应力：?BC?FNAB4?FNAB4F1?? AAB??d120.042?FNBC4?FNBC4?F1?F2??? 22ABC??d2?d2而BC与AB段的正应力相同，即，?BC??AB 解出：d2?40F1?F2mm?49mm F127.2 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A?500 mm，载荷F?50 kN。试求图示斜截面??30?o? m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

FNF50000??Pa?100MPa AA500?10?62解：拉杆横截面上的正应力?0??应用斜截面上的正应力和剪应力公式： ?30???0?cos? ?30??有图示斜截面m-m上的正应力与切应力为： ?30??75MPa ?30?当??0时，正应力达到最大，其值为?max??0??100MPa 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为100MPa。 当??45时，切应力最大，其值为?max????0?2?43.3MPa

sin2?

?02??50MPa

即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上，其值为50MPa。

27.3图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1?200 mm，许用应力???1?160 Mpa;BC为

40

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 2铜杆，横截面面积A2?300 mm，许用应力???2?100 Mpa。

试求许可用载荷?F?。

yFNAC45C0FNBC300解： （1）分析受力，受力图如图7.7b所示。

?Fx?0 ?FNACsin45?FNBCsin30?0

?Fy?0 FNACcos45??FNBCcos30??F?0

??xF解得：FNBC?0.732F ，FNAC?0.5175F 2）计算各杆的许可载荷。 对BC杆，根据强度条件?BC?FNBC0.732?F????2?100MPa ????2 ，

A2A0.732?40.98 kN

解得：F????2A20.732?(100?106 Pa)??300?10?6m2? 对AC杆，根据强度条件?AC?FNAC0.5175?F????1?160MPa ????1 ，

A1A10.5175?61.84 kN

解得：F????1A1?160?106 Pa???200?10?6 m2?0.5175?所以取FMAX?40.98KN，即?F??40.98KN

7.4 图示简易起重设备中，BC为一刚性杆，AC为钢质圆截面杆，已知AC杆的直径为

d?40 mm，许用拉应力为????170 MPa，外力F?60 kN，试校核AC杆的强度。

解：C铰链的受力图如图所示，平衡条件为

?FX?0, FNB?FNc??0 AosFNAFNBαCF??F?0 ?FY?0, FNAsin5F4F=100KN， FNB?=80KN 334?FNAAC杆所受的拉应力为?AC??79.58MPa

??0.042解上面两式有FNA?所以有 ?AC?????170MPa ，。 AC所受载荷在许可范围内。

7.5 图示结构，AB为刚性杆，1,2两杆为钢杆，横截面面积分别为

A1?300 mm2A2?200 mm2，材料的许用应力

????160 MPa。试求结构许可载荷?F?。

解：AB杆受力图如图所示，其平衡条件为：

A1FN10.5mFN21.5m2B ?M?FYA?o, 0.5F?F2N2? 0 FN2?0.25F

FN1?0.75F

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?0, FN1?FN2?FF习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 由??FFN0.75F?????160MPa 可得：?1?N1??6A1A300?10FN20.25F??????160MPa A2200?10?6 解得 F?64KN ，?2? 解得 F?128KN ，取两者中较小的值：有?F??64KN

7.6 图示结构中AB为刚性杆。杆1和杆2由同一材料制成，已知F?40 kN，E?200 GPa，

????160 MPa，求两杆所需要的面积。

解：AB杆受力图如图所示，其平衡条件为：

FNAFNB1.6mF?KN8 ?MA?o,0.4F?2FNB?0 FNB?0.2A0.4mB ?FY?0, FNA?FNB?F FN1?0.8F?32KN

FF32000?????160MPa 由??N可得?1?NA?A1A1A解得 A1?200mm ，?2?2FFNB8000??????160MPa ，解得 A2?50mm2 A2A2?327.7 在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面面积均等于3?10 m，外力

F?100 kN。试求各杆的应力。

解：B铰链的受力图如图（a）所示，平衡条件为

FFNABFNC?F?FYX?0, F?FNCcos?? 0 ?0, FNA?FNs??0 Cin解上面两式有FNA?3F5F=75KN（拉力）， FNC?=125KN（压力） 44?0

FNCFNACC铰链的受力图如图（b）所示，平衡条件为

CFND（b） ?FX?0, FNAC?FNc??0??F ，?FY?0, FNCsinCosND解上面两式有FNAC?F=100KN（拉力）， FND?解出各杆的轴力后，就可求各杆的应力

3F=75KN（压力） 4?AB??ACFNAFNC12500075000 ，?Pa?25MPa???Pa?41.67MPa BCA3?10?3 A3?10?3 FFND10000075000 ，?NAC?Pa?33.33MPa???Pa?25MPa CDA3?10?3 A3?10?3 7.8 图示横截面为75 mm×75 mm的正方形木柱，承受轴向压缩，欲使木柱任意横截面上的正应力不超过2.4 MPa，切应力不超过0.77 MPa，试求其最大载荷F=？

42

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 FF=2 A75?10?6F?????2.4MPa （1） 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上。2?675?10解：木柱横截面上正应力达到最大，其值为

拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上切应力最大， 其值为?max???2?FF?????0.77MPa （2） ?2?62A2?75?10由（1）式得F?13.5KN ，由（2）式得F?8.66KN ，所以其最大载荷F=8.66KN 7.9 一阶梯轴其计算简图如图所示，已知许用切应力????60 MPa，D1?22 mm，

D2?18 mm，求许可的最大外力偶矩Me。

解：用截面法求得AB，BC段的扭矩，并得到 AB段扭矩 T1?2Me BC段扭矩 T2?Me

由此可见AB段的扭矩比BC段的扭矩大，但两段的直径不同，因此需分别求出两段的切应力AB段 ?1,ma?x2MeT15??9.5M7e?10??[?]MPa60 Wp1?(0.023m2)160?m解得有 Me?62.7N

BC段：：x?am,2?MeT2?Wp2?0180.()m16?738.35M10e?[]60???MPa

m 解得有 Me?73.77N?两值去较小值，即许可的最大外力偶矩Me?62.70N?m

7.10 图示空心圆轴外径D?100 mm，内径d?80 m,已知扭矩

T?6 k?N,G?80 Gpa，试求:(1) 横截面上A点(??45 mm)的切应力和切应变; (2)

横截面上最大和最小的切应力;(3) 画出横截面上切应力沿直径的分布图。 解： （1）计算横截面上A点(??45 mm)的切应力和切应变

T空心圆轴的极惯性矩为Ip?A点的切应力?A??D432(1??)?4?0.1432[1?(0.084)] 0.1oT?6000?0.045??46.58MPa 4?0.10.08Ip[1?()4]320.1(a)46.58?106??0.58?10?3 A点切应变??9G80?10?A（2）横截面上最大和最小的切应力

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习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 横截面上最大的切应力在其最外缘处?max?TD6000?0.05??51.76MPa

0.0842Ip?0.14[1?()]320.1Td6000?0.04??41.41MPa

0.0842Ip?0.14[1?()]320.1横截面上最小的切应力在其内径边缘?min?(3) 横截面上切应力沿直径的分布图如图（a）所示

7.11 截面为空心和实心的两根受扭圆轴，材料、长度和受力情况均相同，空心轴外径为D，内径为d，且d/D?0.8。试求当两轴具有相同强度 (???实max????空max) 时的重量比。 解：令实心轴的半径为d0实心轴和空心轴的扭转截面系数分别为

Wp1??d0316 Wp2??D316(1??)?4?D316(1?0.84)?0.0369?D3

TT? Wp1Wp2当受力情况向同，实心轴和空心轴内的最大切应力相等时，有：

所以可得 Wp1?Wp2 ，即

?d0316?0.036?9D3

3d0?1.192d0 所以 D?316?0.0369?设实心轴和空心轴的长度均为l，材料密度为ρ，则空心轴与实心轴的重量比

?P 2?4?2P1d0l?g4(D2?d2)l?gD2(1?0.82)(1.192d)2(1?0.82)??0.51 2?22d0d07.12一电机的传动轴直径d?40mm，轴传递的功率P?30kW，转速n?1400 r/min。材料的许用切应力????40 MPa，试校核此轴的强度。

30N?m?204.64N?m 1400MeT204.6?416轴内最大切应力 ????Pa?16.2MPa8??[?]MPa40

Wp?d3??0.03416解：传动轴的外力偶矩为 Me?9550 所以安全

7.13 一传动轴，主动轮A输入功率为PA?36.8 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB?PC?11.0 kW，PD?14.8 kW，轴的转速为n?300 r/min。轴的许用切应力

????40 MPa，试按照强度条件设计轴的直径。

44

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 解：各轮的外力偶矩分别为

36.811N?m?1171.46N?m ，MB?MC?9550N?m?350.17N?m 30030014.8MT1171.46MD?9550N?m?471.13N?m ，?max??max??[?]?40?106Pa

?3300WpWpd16MA?9550有 d?316?1171.46?0.0530m?53.0mm ，因此轴的最小直径为53.0 mm 640?10?7.14 如图所示,一钻探机钻杆的外径D?60 mm，轴的内径d?50 mm，功率，转速n?180 r/min，钻杆钻入土层的深度l?40 m，材料的许用切应力P?7.36 kW如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求此分布力偶的集度m，????40 MPa。

并作出钻杆的扭矩图，进行强度校核。 解： 计算阻力矩集度 首先计算外力偶矩Me?9550再对其利用静力学平衡条件可得阻力矩集度 m?P7360?9550?N?m?390.2N?m n180x?M?0, ml?Me?0

Me390.2?N?m/m?9.755N?m/m l40 作扭矩图：由图一，扭矩T?T?x??mx，是沿钻杆轴线方向横截面位置坐标x的线性函数，所以，扭矩图如图二所示。 对钻杆进行强度校核 钻杆的最大工作切应力

?MAX?9.76?40TMAXmlPa=17.77MPa ??4?Wp?50??D3?1??4???60?10?3?3?1?????1616??60???? 因最大工作切应力?MAX?17.77MPa?????40MPa，所以安全

7.15 如图所示一简支梁，梁上作用有均布载荷q?2 kN/m，梁的跨度l?4 m，横截面为矩形，尺寸如图所示，试计算梁内弯矩最大截面上的最大正应力和弯矩最大截面上k点的正应力。

解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力 40A FA?FB?4KN

其弯矩图见图所示，梁内最大弯矩 Mmax?80ql?4KN?m 8230zk梁内弯矩最大截面上的最大正应力在梁正中横截面的最上端和最下端，即A点和B点处

45

B y 习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?max?Mmax4000N?m??93.7MPa 2WZbh6k

点的正应力

MO4KN?m弯矩最大截面上

+x?k?Mmaykx40?000.03??70MPa.3 3IZbh127.16 一矩形截面简支梁由圆木锯成。已知F?5 kN，a?1.5 m，????10 MPa。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需木料的最小直径d。

解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力 FA?FB?5KN 作

受

力

图

，

梁

内

最

大

弯

hdzb矩 MMAX?FA?a?5?1.5KN?m?7.5KN?m

应用弯曲正应力的强度条件 ?max?yMmax???? WZFAFA FBDFB可计算出梁应具有的弯曲截面系数 WZ?Mmax7.5?10343?m?7.5?10m ???10?160223C若矩形截面梁是由圆柱形木料锯成的，则有几何关系 aaah?b?d

222bh2b?d?b??所以该矩形截面的弯曲截面系数 WZ? 66dWZd2WZd2?3b2?0,2?0?0 若以b为自变量，则WZ取最大值的条件是 ，所以有dbdb6h2bh?7.5?10?4m3 将②代入上式得 ?2?1.41 4 ，由式①得 WZ?6b联立④⑤两式求解，可得 b?0.131m?131mm, h?185mm ,

将b,h的数值代入式②得 d?b?h?131?185mm?227mm 所以，粮所需木料的最小直径为227mm

7.17 如图所示外伸梁上面作用一已知载荷20 kN ，梁的尺寸如图所示，梁的横截面采用工字钢，许用应力????60 MPa。试选择工字钢的型号。 解：解除支座约束，代之以约束反力

作受力图，如图（a）所示，利用静力学平衡条件可解得支座反力

2222FB?31.11KN FC??11.1K1N

46

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和 最大弯矩分别为

FFBFCFSmax?20KN Mmax?20KN?m

A 有弯曲应力的强度条件 ?max?B CMmax20000??[?]?60MPa WZWZ1mFSO1.8m(a)11.11KN200003可得梁的弯曲截面系数 WZ?m?333cm3 660?10查表可得25a工字钢的WZ?401.88cm， 所以选用25a工字钢

7.18 如图所示一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l?4 m，

3_+20KN(b)xMO_20KN?m(c)xb?120 mm，h?180 mm，弯曲时材料的许用应力为

????10 MPa，求梁能承受的最大载荷Fmax。

解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力 FFA?FB?

2hFl?F 4M应用弯曲正应力的强度条件 ?max?max????

WZ作受力图，梁内最大弯矩 Mmax?可计算出梁应能承受的载荷范围

bFAFAFBB?maxMF6F?[?]?10?106Pa ?max?2?2WZ0.12?0.18bh66l/2MOFl/20.1?20.218可解出 F?10?10?=6.48KN

6所以梁能承受的最大载荷Fmax=6.48KN

+x 7.19 图所示一T形截面铸铁外伸梁，所受载荷和截面尺寸如图所示， 已知铸铁的许可应力

??t??40 MPa，??c??100 MPa，试校核梁的强度。

解：截面的几何性质 y2?14?3?7?20?3?15.5cm?12cm

14?3?20?311IZ?[?3?143?3?14?22??33?20?3?20?3.52]cm41212?6901.5cm4

作梁的弯矩图如（a）所示在B截面有

47

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ??max??max10?103?12?10?2?Pa?17.39MPa?[?c]?100MPa?86901.5?1010?103?5?10?2?Pa?7.24MPa?[?t]?40MPa

6901.5?10?8?max在C截面有?20?103?5?10?2?Pa?14.49MPa?[?c]?100MPa ?86901.5?10??max20?103?12?10?2?Pa?34.78MPa?[?t]?40MPa ?86901.5?10由此可知，最大应力小于许用应力，安全。

7.20 如图所示为一外伸工字型钢梁，工字型钢的型号为22a，梁上载荷如图所示，已知材料的许用应力为????170 MPa，l?6 m，F?30 kN，q?6 kN/m，????100 MPa。试校核梁的强度。

解:利用型钢规格表查得，22a号工字钢截面的WZ?309cm 3qABFBFCDFDIZS?z,max?18.cm9 d?7.5mm

l/3FsOl/2(a)l/219KN解除支座约束，代之以约束反力，作受力图，如图（a）所示，利用静力学平衡条件可解得支座反力 FB?29KN FD?13KN

作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和

_12KN+(b)_13KN39KN?mxMO_+12KN?m(c)xm 最大弯矩分别为FSmax?19KN Mmax?39KN?有弯曲应力的强度条件?max?Mmax39000?Pa?126.21MPa?[?]?170MPa WZ309?10?6FSS?z,max19000?Pa?13.40MPa?[?]?100MPa ?max?IZd0.189?0.0075最大正应力与最大切应力均小于许用正应力和许用切应力，安全。

7.21 一简支工字型钢梁，已知l?6 m，q?6 kN/m，F?20 kN，材料的许用应力为

????170 MPa，????100 MPa，试选择工字钢的型号。

解: 解除支座约束，代之以约束反力，作受力图如图（a）所示，因结构对称，利用静力学平衡条件可解 得支座反力FA?28KN FB?28KN

作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力 和最大弯矩分别为

MOqAFAFS28KNFBFBl/2+(a)10KN10KN(b)47KN?ml/2xO_28KNx+ 48

(c) 习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 FSmax?28KN Mmax?47KN?m

有弯曲应力的强度条件 ?max?可得梁的弯曲截面系数 WZ?Mmax47000??[?]?170MPa WZWZ470003m?276.47cm3 6170?103查型钢表可得22a工字钢的WZ?309cm，d=7.5mm，所以选用25a工字钢

最后，作弯曲切应力强度校核

IXS?Xmax?18.9cm

?max?FSS?z,maxIZd?28000Pa?17.53MPa?[?]?100MPa

0.189?0.0075647.22 铸铁制成的槽型截面梁，C为截面形心，Iz?40?10 mm，y1?140 mm，

y2?60 mm，l?4 m，q?20 kN/mMe?20 kN?m，

??t??40 MPa，

（1）作出最大正弯矩和最大负弯矩所在截面的应力分布图，并标明应力??c??150 MPa。数值；（2）校核梁的强度。

解：（1）解除支座约束，代之以约束反力，作受力图如图（a）所示，因结构对称，利用静力学平衡条件可 解得支座反力FA?45KN FB?35KN

作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力

y1Cy2yzKN?m和最大弯矩分别为FSmax?45KN Mmax?36.5

截面的几何性质

y1?140mm y2?60mm Iz?40?106 mm4

在最大负弯矩处截面有

eqFAFB??max???max20?10?0.14Pa?70MPa?[?c]?150MPa

4?10?53AB20?103?0.06?Pa?30MPa?[?t]?40MPa ?54?1036.5?103?0.06?Pa?54.75MPa?[?c]?150MPa ?54?1036.5?103?14?10?2?Pa?127.75MPa?[?t]?40MPa?54?10FSl2.25(b)36.5KN?m45KN+MO0.520KN?m_x在最大正弯矩处截面有

35KNx??max_+2.25(c)??max应力分布图如图所示

49

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 70MPa127.75MPa30MPa

最大负弯矩处应力分布图 最大正弯矩处应力分布图

57.75MPa

（2）根据上面所算的最大正弯矩所在截面的拉应力，发现最大正弯矩所在截面的拉应力都大于许可拉应力，强度校核不合理.。

第八章 连接件的实用计算

8.1 矩形截面木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力F?50 kN，截面宽度b?250 mm，木材的顺纹许用挤压应力??bs??10 MPa，顺纹许用切应力????1 MPa。试求接头处所需的尺寸l和a。

F50?1036????10?10解：挤压面Abs?ab bs

ACa?250?106故

50?130a??20mm

250?10FS50?1306????1?10 A?lb6剪切面：bs 故

ASl?250?10故

l?50?200mm 2508.2 图示螺栓联接，已知外力F?200 kN，板厚度t?20 mm，板与螺栓的材料相同，其许用切应力????80 MPa，许用挤压应力??bs??200 MPa，试设计螺栓的直径。.

F200?103??200?106 故 d?0.05m 解：挤压面 Abs=td ?bs?Absd?0.02Fs20012?130?d?剪切面：As?2?r?2?????d ????80?160

122As?2??d222因此 d?0.05m

8.3 图示一销钉受拉力F作用，销钉头的直径D?32 mm，h?12 mm，销钉杆的直径

d?20 mm，许用切应力????120 MPa，许用挤压应力??bs??300 MPa，

50

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ????160 MPa。试求销钉可承受的最大拉力Fmax。

FSFS???解：拉杆头部的切应力

As?dh

拉杆头部的挤压应力 ?bs?FF? Abs??D2?d2??3?36从而：Fs?As???dh?=3.14?20?10?12?10?120?10N=90.4KN?Fmax

?32?32? F??bsAbs??bs??D2?d2??300?106?3.14??32?10?20?10?????????587.8KN?Fmax

所以应取F?90.4KN； 再进行强度校核：??FF90.4KN???72.0MPa 22?32A?d3.14??20?10?m8.4 图示两块钢板用直径d?20 mm的铆钉搭接，钢板与铆钉材料相同。已知F?160 N，两板尺寸相同，厚度t?10 mm，宽度b?120 mm，许用拉应力????160 MPa，许用切应力????140 MPa，许用挤压应力??bs??320 MPa，试求所需要的铆钉数，并加以排列，然后校核板的拉伸强度。

解：先考虑受剪切力时的情况,在钢板和铆钉都达到许用剪切应力时，

由??FSFFS?2，AS?nas和as?d得， n?S? AS4as???d2??4将????140MPa,d?0.020m代入上式，得

FSFS160?103n????3.64?4

?3.142as??26??d???0.020??140?10???44FFF?由?bs? ,Abs?nabs,abs?dt得n?abs??bsdt??bsAbs将?bs???bs?,t?0.01代入上式，得

FF160?103n????2.5?3

abs???bs?dt???bs?0.020?0.01?320?106由以上两式可以确定铆钉的个数为四个，下面确定排列方式为

由??FNA?n1absFS??A??????（n1为一行中铆钉个数）得, n1?22abs

将?????,A?0.01?0.12?0.0012m,abs?0.0002m代入上式得

51

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?160?103??0.0012??160?106??n1?0.0002?1

所以每排只排一个，共四排，在此种排列情况下，强度符合条件。

8.5 图示直径为30 mm的心轴上安装着一个手摇柄，杆与轴之间有一个键K，键长36 mm，截面为正方形，边长8 mm，材料的许用切应力????560 MPa，许用挤压应力

??bs??200 MPa，试求手摇柄右端F的最大许可值。

解：挤压面为Abs?4?36?144mm

故最大挤压应力为Fbs??bsAbs?Abs??bs??144mm?200MPa?28.8kN

22剪切面为A?8?36?288mm2

故最大剪切应力为FS?A??A????288mm?560MPa?161.28kN

2由于Fbs?FS，所以取Fbs?28.2kN，

由力矩平衡条件，得 15?Fbs?750?F?0 ，F?576N 手摇柄右端F的最大许为576N。

8.6 图示冲床的冲头，在F力的作用下，冲剪钢板，设板厚t?10 mm，板材料的剪切强度极限?b?360 MPa，当需冲剪一个直径d?20 mm的圆孔，试计算所需的冲力F等于多少？ 解：剪切面因此

s??dtFsF??? ，由于bs?dt

F??dt?b?3.14?0.02m?0.01m?360?106pa?226.1kN

第九章 杆类构件的变形

9.1 单元体ABCD的边长为dx、dy，其?x??y?0，但其切应变为?，试求与x和y都成 45°方向的AC线的线应变?AC。

解：变形后的AC?在AC方向上的投影为AE，如下图所示： 由题意易知，dx?dy AC?DD'CEC'2dy

dy?45°? CC??DD??tan??dy???dy(?足够小) CE?CC???dy? 22故：在与x和y都成 45°方向的AC线的线应变?AC?CE?? AC2AdxB9.2 图示三角形薄板因受外力作用而变形，角点B垂直向上的位

B?移为0.03 mm，假设AB和BC仍保持为直线。试求沿OB方向解：变形后的图形为：

B的平均应变，并求AB和BC两边在B点的切应变。

A 52

45°O45°C240mm习题解答 第六章 杆类构件的内力分析

由图易知：OB=120mm，OB?=120.03mm，AB?=169.73mm （1）OB方向上的平均应变 ??OB??OB120.03?120??2.5?10?4

OB120（2）由角应变的定义可知，在B点的角应变为

OA?120)??2(arctan)?2.5?10?4rad

22OB?2120.039.3 在轴向压缩试件的A及B处分别安装两个杠杆变形仪，其放大倍数分别为KA=1200，

?????AB?C???2(arctanKB=1000，标距均为s=20 mm，受压后杠杆仪的读数增量为?nA??36 mm，?nB?10 mm，

试求此材料的泊松比?。 解：由泊松比的定义知： ???横 ?纵?nA/KA?nB/KB ?B? ss本题中：?横??B ?纵??A ?A? ???B?nB/KB?nB?KA10?12001s?????=0.33 ?As?nA/KA?nA?KB36?100039.4 求简单结构（a）中节点A的横向位移和（b）结构中节点A的竖向位移，设各杆的抗拉（压）刚度均为EA。

解：（a）结构中A点的受力平衡，经受力分析，易得杆AB、AC的轴力： FBA?F（拉） FCA?0 结构的最终变形如下图所示：

ClB 位移AA?为所求。 根据胡克定律，得：AA1?αAFlFlcos??

EAEAcos?A?αA1 由上图所示的变形得几何关系，可得： AA??AA1Fl2Fl（b） 由点A的平衡可得杆??sin?EAcos?sin?EAsin2?FN1FN4BBA、AD的轴力分别为FAD?0，FN2?F（拉）

由点B的受力图如下图所示，由平衡条件，可得杆BC、BD的轴力分别为：

FN2 FN1?F（拉），FN4?2F（压）

采用以切线代替回弧线的方法，画出B点的变形图，如下图所示： 由几何关系，可得B点的垂直位移为：

Cl?lDCB?lBCB1?By?B?B1??lDCsin45????lDCcos45???lBC?cot45?

?B?2?lDC??lBC

D 53

点A的水平位移和铅垂位移分别为?Ax?0

?Ay?B?B1??lAB?2?lDB??lBC??lAB习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 21?2Fl2F?2lFlFl ? ?2??EAEAEAEA9.5 如图所示的桁架，两杆材料相同，AB 杆的横截面面积A1=100 mm，AC 杆的横截面面积

2

??A2=80 mm2，弹性模量 E =210 GPa，铅垂力F=20 kN。求 A 点的位移。

解：以点A为研究对象，作受力图。 利用静力学平衡条件

FNBFNC30??Fx?0, FNCsin45??FNBsin30??0

A45??Fy?0, FNCcos45??FNBcos30??F?0

F 可求得杆AB和AC的轴力分别为

FNB?0.732F FNC?0.518F

9.6 混凝土柱尺寸如图所示，柱的弹性模量E=120 GPa，柱受沿轴线的压力F=30 kN的作用，若不计柱自重的影响，求柱的压缩量。

解：设距柱体底面?高度处的正方形横截面的变为a,面积为A???，则由几何关系可得

?a?28360??a?40?? 解得

3040?28360x??Ax?a?40???于是 ??

30??22柱体内的轴力恒为

lFN?F??30kN

?l??0FNd?EA(?)???0.36?3?30?10?d??m2?0? 柱体的总变形????120?109??40???10?6??30??????0.0804mm9.7 如图所示两根粗细相同的钢杆上悬挂着一刚性梁 AB，今在刚性梁上施加一垂直力 F。欲使梁 AB 保持水平位置（不考虑梁自重）。求：加力点位置 x与 F和l之间的关系。 解：先求CK、HE杆的轴力F1、F2与x的关系，取AB杆为研究对象，其受力如图所示，由平衡条件可得解之得 F1??Mc?0 F2 1.5l?Fx?0 ?Fy?0 F1?F2?F?0

1.5l?xx ， F2?F. 1.5l1.5l由胡克定律可得两杆的轴向伸长量分别为

?lkc?FFl1.5l?x1l??, E1A1E1A11.5l 54

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?lHEF20.75lF0.75lx???E2A2E2A21.5l

要使CG杆保持水平的条件为 ?lkc= ?lHE

解之得 x?1.5lE2A2

E2A2?0.75E1A19.8 图示结构，已知AB杆的直径d?30 mm，a?1 m，E?210 GPa。设CD杆为刚杆，若AB杆的许用应力????160 MPa，求D点的最大铅垂位移。

解：因CD杆为刚性杆，故受力后的变形图为

AFD?2CB????????E则： ??????? （1）

E? ????1max （2）

a （1）（2）联立得：

?1B?aD??1max?a???????160?106??1?E210?109?7.62?10?4?7.62?10?4m

?3 由图示变形关系易得：?2max?2?1max?1.53?10m 即：D端的最大竖直位移为1.53?10m

9.9 钢制空心圆轴的外径 D =100 mm，内径 d =50 mm。要求轴在 2 m 内的最大扭转角不超过 1.5°，材料剪切弹性模量 G =82 GPa。求：（1）该轴所能承受的最大扭矩；（2）此时轴内的最大切应力。

解：（1）设该轴所能承受的最大扭矩为Tmax

?3Ip??32(D4?d4)??32(1004?504)?10?12?9.2?10?6m4

????1.5???180??2.62?10?2

GIp????82?109?9.2?10?6?2.62?10?2TlTmax???9.883kN?m 由公式??得：

GIpl2 （2）由题意知：??0.5

Wt??D316(1??4)?1.84?10?4m3 ? ?max?Tmax9883??53.6?106Pa ?4Wt1.84?109.10 如图所示为钻探机钻杆。已知钻杆的外径 D = 60 mm，内径 d =50 mm，功率 P =10 马力，转速 n =180 r/min。钻杆钻入地层深度 l=40 m，G =81 GPa，［τ］=40 MPa。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。求：（1）地层对钻杆单位长度上的阻力矩 Me；（2）作钻杆之扭矩图，并进行强度校核；（3）A、B 两截面之相对扭转角。

55

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?P?kW10?735?10?3解：（1）由公式?Me?N?m?9549?得：M?9549??389.9N?m

n180??r/min由力矩平衡可得：Me?l?M ，故有：Me?（2）底层以上转杆的扭矩为M?=389.9N?m 用截面法对AB段的任意一截面O进行分析：

由力矩平衡可得：由M?的表达式可画出相应的扭矩图如下： 强度校核：

AmM389.9??9.75N?m l40MxM?389.9N?mO4Wt??D163(1??)???60?316?5??1??????6?4??9?53??10?2.2?10m ??A 探杆上的最大扭矩为： Tmax?389.9N?m 由公式??T得： Wt389.9N?m?max?Tmax389.96??17.8?10Pa?17.8MPa?????40MPa ?5Wt2.2?10B满足强度要求。 （3）如图所示，

取任意截面x，该截面处的扭矩为：T(x)?mx

dx段长度上的扭转角为：d??T(x)dx GIpM40T(x)dx9.75x??dx?0.15rad ?AB面的相对转角???081?109?6.6?10?7GIpLBAA9.11 图示钢轴所受扭转力偶分别为Me1?0.8 kN·m，Me2?1.2 kN·m及

T(x)mBdxMe3?0.4 kN·m，已知l1?0.3 m，l2?0.7 m，[?]=50 MPa，[??]=0.25 (?)/m，

G=80GPa。试求轴的直径D。 解：对AB段进行分析：

由力矩平衡得：M1?Me1=0.8 kN·m 同理对BC进行分析：

易得： M2??Me3=-0.4 kN·m AB的扭矩图为： 经比较知：AB段危险 由公式Ip?

ABMe1M1x M2Me3 BC T180???????得： GIp?0.8kN?m?D432和????D?432?180T432?180?800??3.91?10?2m 229?G??????80?10?0.250.4kN?m 56

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 （1） 由公式Wt??D316?3和??T????得： WtD?316T????16?800?2?4.34?10m 6??50?10?2故：轴的最小直径的取值为D?4.34?10m

9.12 如图所示传动轴的转速 n 为 200 r/min，从主动轮 2 上输入功率 55 kW ，由从动轮 1、3、4 及 5 输出的功率分别为 10 kW 、13 kW 、22 kW 及 10 kW 。已知材料的许用切应力［τ］= 40 MPa，剪切弹性模量 G =81 GPa，要求[??]=0.5 °/m。试选定轴的直径D。

?P?kW解：由公式?Me?N?m?9549?得：

n??r/min从动轮 1、2、3、4 及 5 处所传递的扭矩分别为：

1055T1?9549??447.45N?m ，T2?9549??2625.975N?m

2002001322T3?9549??620.685N?m ，T4?9549??1050.39N?m

200200T5?T1?447.45N?m

用截面法分别对AB、BC、CD、DE段进行受力分析，由力矩平衡易得该轴的扭矩图：

由扭矩图知危险截面应位于2、3轮之间的BC段，该段上T?2178.525N?由公式Ip?m（1）和?????D432T180???????得： GIp?180T 故

?G????Ip?D?

432?180T432?180?2178.525?2??7.49?10m 229?G??????81?10?0.5（2）由公式Wt??D316和??16T16?2178.525T?2?3?6.52?10m ????得：D?36??????40?10Wt?2为了安全起见，轴的直径应满足条件：D?7.49?10m

9.13 某圆截面钢轴，转速n?250 r/min，所传功率P?60 kW，许用切应力

????40 MPa，单位长度的许用扭转角?????0.8 (?)/m，切变模量G?80 GPa。试确

定轴的直径D。

解：由该轴所传递的扭矩的大小为：T?9549?P60?9549??2291.76N?m n250 57

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 16T16?2291.76?D3T?3?6.63?10?2m （1）由公式??得： D?3????和Wt?6??????40?10Wt16T180??D4??????和Ip?（2）由公式????得： GIp?32 D?432?180T432?180?2291.76??6.76?10?2m 229?G??????80?10?0.8?2综上分析：轴的直径应满足条件 D?6.76?10m（约合68mm）

9.14 直径d=25 mm的钢圆杆受轴向拉力60 kN作用时，在标距 0.2 m的长度内伸长了0.113 mm;受扭转力偶0.2 kN·m作用时，相距 0.15 m的两横截面相对扭转了0.55 o，试求钢材的E， G和?。

?l0.113?10?3解：由题意易知 应变????5.65?10?4

l0.2F60?103?4.9?10m ，应力????122.23MPa 面积A??44A4.9?10?42?d4?122.23?106（1）由胡克定律??E?得：E???2.16?102GPa ?4?5.65?10TlTl0.2?10?3?0.15（2）由转角公式??得：G???81.6GPa

??GIp?Ip0.55???254?10?1218032EE216.33（3）由E、G关系式G?得：???1??1?0.32

2(1??)2G2?81.69.15 一薄壁钢管受外力偶Me?2 kN?m作用。已知外径D?60 mm，内径，材料的弹性模量E?210 GPa，现测得管表面上相距l?200 mm的d?50 mmAB两横截面相对扭转角?AB?0.43 ?，试求材料的泊松比。

?D4d5(1??4)?6.59?10?7m4 解:由题意知：内外径之比??? ，Ip?32D6TlTl2?103?200?10?3 由转角公式??得：G???80.9GPa

?GIp?Ip0.43??6.59?10?7180EE210 由E、G关系式G?得：???1??1?0.3

2(1??)2G2?80.99.16 传动轴外径D?50 mm，长度l?510 mm，l1段内径d1?25 mm，l2段的内径

d2?38 mm，欲使两段扭转角相等，则l2的长度应为多少？

解：用截面法易得该传动轴的扭矩图 即传动轴任意截面的扭矩均为Me 设l1 、l2段的转角分别为?1、?2，

ABCMeMe 58

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 由转角公式??TlTlTl得：?1?11 ?2?22 GIpGIp1GIp2T1l1Tl?22 其中，T1?T2?Me GIp1GIp2欲使?1??2应有：

l1Ip11??14l1???0.5故：? （其中，） ， ??0.76?1.4 124l2Ip21??2l2又因 l1?l2?510mm ，解得：l2?212mm 9.17 写出图示各梁的边界条件。 解：?a? x=0, wA=0 x=l, wA=0

?b? x=a, wA=0 x=a+l, wA=0

?c? x=0, wA=0 x=l, wA=0 x=l+3a, wA=0

?d? x=0, wA=0 x=a+l, wA=0

9.18 E和Iz为常数，试用积分法求梁端部的转角，以及最大挠度。 解： （a）如图a1所示，根据平衡条件，求出支座反力 FRA?FRB?aq 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为（因结构和载荷均对称，故只考虑AD段）

???aqx1 AC段 M1(x1)?aqx1 （0≤x1≤a） ， EI?1?? EI?111aqx12?C1 ，EI?1?aqx13?C1x1?D1 26q(x2?a)2q(x2?a)2???aqx2?CD段 M2(x2)?aqx2? （a≤x2≤3a） ， EI?2

22q(x2?a)3q(x2?a)41123??aqx2?EI?2?C2 ， EI?2?aqx2??C2x2?D2

26624由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由?1?0,x1?0，得 D1?0

???2?,得 x1?x2 由x1?x2?a,?1由x1?x2?a,?1??2,得 D2?0

113aq 61111各段挠曲线方程和转角方程为?1(x1)?(aqx13?x1qa3)

EI66??0,得 C1?C2?? 由x2?2a,?2q(x2?a)411113?2(x2)?[aqx2??qx2a3]

EI6246 59

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?1(x1)??1?(x1)?1111(aqx12?qa3) EI26q(x2?a)3113112?(x2)??2(x2)??2[aqx2??qa]

EI266?(x1)端截面转角 ?A??1x1?0???B??11qa3 6EIx2?2a??19qa4 8EI31（b）如图b1所示，根据平衡条件，求出支座反力 FRA?aq,FRB?aq,

44最大挠度产生在跨度中点处?l2??max??2(x2)弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为

3131aqx1?qx12 （0≤x1≤a） ，EI?1???aqx1?qx12 42423111EI?1??aqx12?qx13?C1 ，EI?1?aqx13?qx14?C1x1?D1

8382411???aq(2a?x2) CD段 M2(x2)?aq(2a?x2) （a≤x2≤2a） ，EI?244AC段 M1(x1)?qa(2a?x2)3qa(2a?x2)3??EI?2?C2 ，EI?2??C2x2?D2

824由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由?1?0,x1?0，得 D1?0

???2?,?1??2,得 C1??由x1?x2?a,?1由x2?2a,?2?0,得 D2??337aq,C2??a3q 164874aq 241113各段挠曲线方程和转角方程为 ?1(x1)?(aqx13?qx14?x1qa3)

EI824161qa(2a?x2)377?2(x2)?[?qx2a3?qa4]

EI244824?1(x1)??1?(x1)?1313(aqx12?qx13?qa3) EI8616qa(2a?x2)2731?(x2)??2(x2)??2[??qa]

EI848?(x1)端截面转角 ?A??1挠度取极值的条件是

x1?0??3?(x2)qa3,?B??216EIx2?l?7qa3 48EI7d?1321333)2a?0.92a ?0，即ax1?x1?qa?0 x1?(1?24dx18616 60

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 跨度中点处挠度?l2??1(x1)x1?a??5qa4 96EIMA l（c）如图c1所示，根据平衡条件，求出支座A的约束反力FRA?弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为

EI????M(x)?MAMx?MA ，EI???Ax2?MAx?C1 l2lM1EI??Ax3?MAx2?C1x?C2

6l2由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由??0,x?0，得 C2?0 由x?l,??0得 C1?MAl 3MA(3x2?3lx?2l2) 6EIl各段挠曲线方程和转角方程为 ?(x)?MA(3x2?6lx?2l2) 6EIlMlMl端截面转角 ?A??(x)x?0?A,?B??(x)x?l??A

3EI6EId?挠度取极值的条件是?0，即3x2?6lx?2l2?0 x?(1?3)l

3dx?(x)?最大挠度产生在跨度中点处?max??(x)x?(1??33)l3MAl2 27EI（d）如图d1所示，分布载荷集度，挠曲线微分方程及其积分 q(x)?? EI?(4)q0x lq0x2q0x(3)?C1 ， EI?????2llq0x3q0x41EI??????C1x?C2 ，EI?????C1x2?C2x?C3

6l24l2q0x511?C1x3?C2x2?C3x?C4 EI???120l62由边界条件和连续性条件确定积分常数：

由????0,x?0，得 C2?0 ，由x?l,????0得 C1?由x?0,??0,得 C4?0 ，由x?l,??0,得 C3??lq0 67q0l3 360q0x5q0l317(??x?q0l3x) 各段挠曲线方程和转角方程为??EI120l36360 61

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 q0x4q0l217?(x)???(x)?(??x?q0l3)

EI24l12360挠度取极值的条件是

d?1?0，即 dx1q0x4q0l28173)2l?0.27l?0.52l ??x?q0l?0 x1?(1?1524l12360将x1?0.52l代入挠曲线方程，得最大挠度?max??(x)端截面转角 ?A???(x)x?0.52l??5.01q0l4

768EIx?07??q0l3,?B???(x)360EIx?l/2??x?lq0l3 ?45EI跨度中点处挠度?l2??(x)9. 19

5q0l4

768EIxAE和Iz为常数，用积分法求悬臂梁自由端的挠度。

FFBl\解 (a) 当2l?x1?3l时

\M1?x1??0 ，EIw1??M1?x1??0

EIw?C1 ，EIw1?C1x1?C2

'1ll 当l?x2?2l时 ，M2?x2???F?2l?x2? ，EIw2??M2?x2??F?2l?x2?

13\EIw2??M2?x2??F?2l?x2? ，EIw2??F?x2?2l??C3x2?C4

6\当0?x3?l时 ，M3?x3???F?3l?2x3? ，EIw3??M3?x3??F3l?2x3??

1123'EIw3??F?2x3?3l??C5 ，EIw3??F?2x3?3l??C5x3?C6

424利用边界条件确定积分常数：

由x1?x2?2l，w1?w2，得C1?C3 (1) 由x1?x2?2l,w1?w2，得2lC1?C2?2lC3?C4 (2)

''1122F??l??C3??F??l??C5 (3) 241133由x2?x3?l，w2?w3, 得?F??l??lC3?C4??F??l??lC5?C6 (4)

6249293'由x3?0，w3?0，得 C5?Fl ，由x3?0，w3?0, 得 C6??Fl

4852335233联立式(1)~(4)，解得C1?Fl C2??Fl C3?Fl C4??Fl

2222由x2?x3?l，w2?w3，得?'' 62

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 所以BC段的挠曲线方程为

w1?x1??1EIz33??52Flx?Fl?1?2?2?

2Fl2B端的挠度为wB?w1?x1?|x1?3l?

EIz(b)如下图所示，建立坐标系。 当0?x?l时，

qAFCllBx12M1?x???F?2l?x??q?l?x?

2积分两次，得：

?1?x??1?11?F12?23??F2l?x?ql?xdx?x?2l?qx?l?C1 ???????????EI??2EI26????1EI?1?x??12???F2l?x?ql?xdxdx????????2??1?F134??x?2l?qx?l?C1x?D1 ?????EI?624?? 当l?x?2l时，M2?x???F?2l?x? 积分两次，得：?2?x??1F2?F2l?xdx?x?2l?C2 ?????????EI2EI?2?x????F23?Fdx?x?2l?C2x?D2 ?x?2l??C2????6EI?2EI? 由边界条件确定积分常数： 当x?0时，?1??1?0，所以：

?1?0??

11?13?23??F2?2l?q?l?C?2Fl?ql??C1?0????1???26EI6????1?1?C1???2Fl2?ql3?EI?6?11?4Fl3ql4?34??F???2l??q??l???D1?????D1?0?24EI?324??6?1EI1?1?0??EI

1?4Fl3ql4?D1????EI?324? 当x?l时，?1??2 ?1??2 有：

?1?l??1EI1?13?12??F2l?2l?2Fl?ql????????EI?6EI?2???3213??Fl?ql?6?2?1?1?l??EI1?13?1?4Fl3ql4?1?5Fl3ql4?3??F2???l?2l????2Fl?ql?l????????6EI6EI324EI68???????? 63

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 Fl2F113?32 ?2?l???C2 ?2?l??2Fl?ql?l?D2 ?l?2l????6EIEI?62EI?1?4Fl3ql4?1?13?2所以：C2???2Fl?ql? D2?EI?3?24?

EI?6???1?13?1?4Fl3ql4?2?当x?2l时，?2?2l????? ?2Fl?ql??2l?EI?6EI324???1?8Fl37ql4?71ql4? ?? ????EI?324?24EI71ql4 即：B端的挠度值为?（?）

24EI9.20 E和Iz为常数，试用积分法求图示梁C截面的的挠度wC。

解：（a）如图a1所示，根据平衡条件，求出支座反力FRA?0,FRB?2aq, 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为

???0 ，EI?1??C1 ，EI?1?C1x1?D1 AD段 M1(x1)?0 （0≤x1≤a） ，EI?1DB段 M2(x2)?11????q(x2?a)2 q(x2?a)2 （a≤x2≤2a） ，EI?222q(x2?a)413???q(x2?a)?C2 ，EI?2???C2x2?D2 EI?2246BC段 M3(x3)??1q(x3?a)2?2aq(x3?2a) （2a≤x2≤3a） 211????q(x3?a)2?2aq(x3?2a) ，EI?3???q(x3?a)3?aq(x3?2a)2?C3 EI?326q(x3?a)41EI?3???q(x3?2a)3?C3x3?D3

243由边界条件和连续性条件确定积分常数：

???2?,得 C1?C2 由?1?0,x1?0，得 D1?0 ，由x1?x2?a,?1由x1?x2?a,?1??2,得 aC1?aC2?D2

14aq?2aC2?D2?0 2411???2?,得 ?a3q?C2??a3q?C3 由x3?x2?2a,?36614由x3?2a,?3?0,得 ?aq?2aC3?D3?0

2413联立上面式子有C1?C2?C3?qa,D1?D2?D3?0

48由x2?2a,?2?0,得 ? 64

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 qa3x1各段挠曲线方程和转角方程为?1(x1)?

48EIq(x2?a)411?2(x2)?[??qx2a3]

EI2448q(x3?a)4q(x3?2a)311?3(x3)?[???qx3a3]

EI24348q(x2?a)313113?(x2)?[??qa] ?1(x1)??1?(x1)?qa ，?2(x2)??2EI64848EIq(x3?a)311?(x3)??3(x3)??3[??q(x3?2a)2?qa3]

EI64813 qax1?048EI13C处挠度 ?C??3(x3)x3?3a??qa4

48EI端截面转角 ?A??1(x1)?（b）如下图所示，以A为原点建立相应的坐标系。 对该结构进行受力分析，易得：

MeAMMFAy?e MA??2Me FBy??e

aa挠曲线微分方程及其积分：

（1） 当0?x?2a时，有：M1?x??C2aaBx Mex?2Me a?Me?x?2Me??1Me2（2） 积分两次，得：?1?x????a(x?2Mex)?C1 ?dx?EIEI2a????

?1?x????1?Me3?1Me2?2?(x?2Mex)?C1?dx?x?Mxe???C1x?D1

EI?6a?EI2a??（3） 当2a?x?3a时，有：M2?x??Me?MeM?x?2a??3Me?ex aa积分两次，得：?2?x??

?3Me?Mexadx?1?3Mx?Mex2??C

e2??EIEI?2a??2?x????

?1?Me2??Me3?1?323Mx?x?Cdx?Mx?x??C2x?D2e2?e???EI2aEI26a?????? 65

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 当x?0时，?1?0 有：C1?D1?0

8Mea21?Me32? 当x?2a时，?1?2a??? ?2a??Me?2a?????EI?6aEI?8Mea2 截面C处的挠度值为 ?C??

EI9.21 E和Iz为常数，试用积分法求图示梁C截面的的挠度

wC和A截面的转角?A。

解：（a）如下图所示，以A为坐标原点建立相应的坐标系： 该结构的等效受力图形为：

如上图所示，根据平衡条件，求出支座反力

qA2aCBax FRA?qa,FRB?qa,MB??qa2

弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为

qACB1（1）AC段 M1(x)?qax?qx2 （0≤x≤2a）

2积分两次得：

12qax?qxM1?x?1?113?22?1??dx??dx?qax?qx??C1?EIEIEI?26??1????1?113??1?114?23qax?qx?Cdx?qax?qx??C1x?D1 ??1??6EI?624???EI?2?2（2）CB段 M2?x???qa?x?2a??2qa?qax （2a≤x≤3a） 积分两次得：?2??M2?x?2qa2?qax1?122?dx??dx?2qax?qax???C2 EIEIEI?2? ?2???1?1?1?2212?3?2qax?qax?Cdx?qax?qax2?????C2x?D2 ??EI?2EI6?????由边界条件，得：当x=0时，?1?0，有：D1?0 ，当x=3a时，?2??2?0， 即： ?2?1?12?22qa?3a?qa3a?????C2?0 EI?2??2?1?2123?qa3a?qa3a???????C2x?D2?0 EI?6? 66

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 3qa3解得：C2?? D2?0

2EI1?213qa3qa423?当x=2a时，?1??2 ，?2? ?2a???qa?2a??qa?2a???EI?63EI?2EI1?112qa4qa334? ?1??2aC1 ，解得：C1???qa?2a??q?2a???2aC1?EI?6243EI2EI?qa3qa4所以：?A?? ?C??

3EI2EI(b) 如下图所示，以A为坐标原点建立相应的坐标系：

该结构的等效受力图形为： 对上面结构进行受力分析，易得：

F=2qaAaDqC2aBx aFAy?qa FBy?3qa MB?4qa2

弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为： 1）AD段 0?x?a时，有：

M1?x??qax1?1?x??qax2?C1

2EI1?1?x??qax3?C1x?D16EI2）DC段 a?x?2a时，有：

F=2qaAqDCB M2?x??qax?2qa?x?a??2qa2?qax ?2?x??21qa2x?qax2?C2 EI2EI11?2?x??qa2x2?qax3?C2x?D2EI6EI（3）CB段 2a?x?4a时，有：

12M3?x???qa?x?2a??q?x?2a?21123 ?3?x??? qa?x?2a??q?x?2a??C32EI6EI1134?3?x???qa?x?2a??q?x?2a??C3x?D36EI24EI由边界条件确定积分常数

67

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 (1) A点 x?0时，有：?1?D1?0 （2）D点 x?a时，有：?1??2 ?1??2

1?13?3qa311334?2??2qa?qa??C2??C2 ?1?qa?C1 ，?1?qa?aC1 ，

EI?22EI2EI6EI??2?1?414?5qa?qa?aC?D?qa4?aC2?D2 22??EI?66EI?13qa33qa?C1??C22EI2EIqa3?C1?C2?qa4EI所以有：解得：D2? 3EI15qa4?aC1?qa4?aC2?D26EI6EI2?a?C1?C2??D2?qa43EI（3）B点 x?4a时，有：?3??3?0

?3?

1?11?2?qa?4a?q?8a3??C3?0?EI?26?10qa3EI3

?C3?1134qa?2a??q?2a??4aC3?D3?06EI24EI 434qa?D3??3EI?3??（4）C点 x?2a时，有：?3??2

14qa4?3?2aC3?D3??3EI11qa4232?2?qa?2a??qa?2a??2aC2?EI6EI3EI 323qa?C2??6EI17qa33?C1?C2?qa??6EI17qa3当x?0时，有：?1?C1??

6EI14qa417qa3即：梁C截面的的挠度wC和A截面的转角?A分别为：?和?。

3EI6EI9.22 E和Iz为常数，试用叠加法求图示外伸梁的?A、?B及wA、wD。

68

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 解：设想沿截面B将外伸梁分成两部分，AB部分为悬臂梁 BC部分为简支梁，如下图所示： 参照梁在简单荷载作用下的变形表得：

?A1F=qa?A1Bqqa?a2qa3Fl3ql4 ?A1?? ???A1??3EI3EI2EI2EIq(2a)3qa35q?(2a)45qa4 ?D1?? ?B1??????24EI3EI384EI24EI?1A2?B1BDC?B2qa2?(2a)24qa4qa2?2a2qa3 ?D2? ???3EI3EI93EI93EI2?A2?B2qa2BDC故：

?A??A1??A2??A1??B1??B25qa3qa3??B??B1??B2? 6EIz3EIz?A2????1A22A2qa4???B?a??

3EI4qa45qa42qa4??? ，?D??D1??D2?

3EI93EI24EI所以有：?A??A1??A29.23 E和Iz为常数，试用叠加法求图示外伸梁中点的挠度wC。 解：题中BD段的受力可以等效为：

qa22其中：M1? M2?qa

2参照梁在简单荷载作用下的变形表得： 由M1引起的C处的挠度为：?c1?由M2引起的C处的挠度为：?c2?所以，C处的总挠度值为：

F=qaF=qaCDM1B

M1l293EIM2l293EI

qa2(?qa2)?(2a)22(M?M2)?l?c??c1??c2?1 ?293EI93EI ?FA?1?12qa 33EI4B(a)FABC9.24 如图所示为一变截面悬臂梁，受到集中载荷F的作用，抗弯刚度分别为EIz和2EIz。试求自由端A处截面的转角和挠度。 解：将两段分别刚化，如图（a）（b）（c）所示： 参照梁在简单荷载作用下的变形表得：

?2?2(b)AFl2Fl2Fl2?1? ?2? ?3?

4EIz2EIz2EIz?3 69

Fl?3BC(c)习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 Fl3Fl3Fl3Fl25Fl3?1????2?l????l?? ?2??

3EIz6EIz6EIz4EIz12EIzFl3Fl3Fl22Fl3?3????3?l????l??

6EIz6EIz2EIz3EIz截面A处的转角?和挠度?分别为：

5Fl23Fl3???1??2??3? ，???1??2??3??

4EIz2EIz9.25 E为常数，试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩Iz2?2Iz1。

解：（a）显然，最大挠度在悬臂梁的端部取得。与习题9.24的解法相同，

其中Iz1?Iz，Iz2?2Iz以及a?l，端部的最大挠度为：

CwBBF2?max3Fl3?（?） 2EIzD?1?1F2（b）由于梁的受力与支座形式对称于中截面C，梁的挠曲线也对称于该截面，其右段的变形，与下图所示悬臂梁的变形相同 B端的变形由以下三部分构成： 参照梁在简单荷载下变形表，易得：

CD?2F2B?2F2F2aa2FaFa322 ?1? ?1???2EIz14EIz13EIz16EIz1F2aFa35Fa3Fa22??2?a? ?2? ?2??12EIz124EIz12EIz28EIz1Fa?aFa33Fa3Fa22??3?a? ?3? ?3??8EIz18EIz1EIz24EIz13Fa3?B??1??2??3?

4EIz1C?3DFa2B?33Fa3所以，中截面处得挠度值为：

4EIz19.26 图（a）所示简支梁，中段承受均布载荷q作用，试用叠加法

计算梁跨中点横截面C的挠度wC。设弯曲刚度EI为常数。（提示：由于梁的受力与支座形式对称于截面C，梁的挠曲线也对称于该截面，其右半段的变形，与图（b）所示悬臂梁的变形相同）

qCb(b)awBBqb?w1BqbC?qCB? 70

w2 习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 解：由提示可知，（b）图中端部B的位移等于（a）图中点C点的挠度。

qb?(a?b)3qb3查梁在简单荷载作用下的变形表可得：?1? ???

3EI6EIqb4qb4qb3?a ?2?????a???8EI8EI6EIqb?(a?b)3qb4qb3?a易得：截面B处的挠度值为???1??2? ??3EI8EI6EIqb ?5b3?20ab2?24a2b?8a3? ?24EIz所以截面C处的挠度大小为：

qb5b3?20ab2?24a2b?8a3???? ?24EIz9.27 在如图示悬臂梁，弯曲刚度EIz为常数，求B截面的挠度?B及转角wB。 解：将两段分别刚化，得相应的受力图： 参照简单荷载下的梁的挠度与转角对照表可得：

qCqlql ?1?? ?1??6EI8EI34?1F?qlB?1Fl2ql3 ?2????2EI2EIFl3ql4ql45ql4 ?2????2?l?????3EI3EI2EI6EIACB?2?2?3??Mlql?? EI2EI24443ACM?12ql2B?3 7ql41ql4故有：?B??1??2??3?? ?B??1??2??3??

6EI24EI9.28 在图示悬臂梁上，载荷F可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动中始终保持相同的高度，

4Mlqlql3ql?3????3?l?????

2EI4EI2EI4EI?3则此梁应预弯成什么形状？设弯曲刚度EIz为常数。

解：设悬臂梁曲线的方程为??f(x)，当载荷F移动到x处时，悬臂梁在力F作用点处的挠度为??(x)，欲使载荷移动时总保持同一高度即沿水平（x轴）方向，则必须

f(x)?[??(x)]?0

Fx3即 f(x)???(x)??

3EI9.29 滚轮沿简支梁移动时，要求滚轮恰好走过一条水平路径，试问须将梁的轴线预先弯成怎样的曲线？设EI=常数。

解:集中力作用下的简支梁，其力作用点的挠度查表得：

Fx(l?x)2Fx2(l?x)222?C??[l?x?(l?x)]??

6EIl3EIl 71

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 欲使滚轮走水平路径，则集中力作用点的预制高度值，应恰好和直梁对应点的挠度相等，所以预弯成的曲线方程应当就是直梁受集中力时的挠度曲线方程

Fx2(l?x)2 ?(x)??C?3EIl9.30 变宽度悬臂梁如图所示，其厚度（即截面高度）h 为常数，梁在自由端受有集中力 F的作用，梁在固定端的宽度为 b，F、b、h、l等均为已知。求：梁的挠度曲线方程。 解：如下图所示建立坐标系：

易得截面x处的弯矩值为：M?x???Fx

F?x?3b?h??bh3?xl??X截面处的惯性矩为：Iz? ?1212ld2?M?x?12Fl???悬臂梁的挠曲线方程为： dx2EI?x?Ebh3两次积分，得：???hxbb(x)xh z 12Fl12Fldx??x?C 3?E?bh3E?bh12Fl6Fl2 ???(?x?C)dx??x?Cx?D 133E?bhE?bh由梁的边界条件确定积分常数：

b(x)12Fl26Fl3由?(l)?0，得C? ，由??l??0，得D?? 33E?bhE?bh6Fl22所以，梁的挠度曲线方程为：??x??? x?2lx?l??3E?bh9.31 如图所示之具有初曲率、不计重量的梁，初始形状可由方程w0?Kx来描述，梁的左端为插入端约束，右端受有集中力 F。当力增加时，插入端附近的梁逐渐与刚性平面接触。

3F、EIz、K、l等均为已知。求：（1）在力F作用下梁与刚性平面接触部分的长度 a。（2）在

力 F作用下梁的自由端到刚性平面的垂直距离。 解：（1）计算梁与水平面的接触长度

由图9.31所示，设梁与地面的接触长度为a。 梁在受力前，截面C处的曲率为

1?1?a???1???a??6Ka

因无外力作用，该处的弯矩为 M1?a??0

梁在受力后，设梁的AC段与水平面接触，截面C处的曲率为在外力F作用下，该处弯矩为 M2?a???F?l?a? 由弯曲变形基本方程，有

1?2?a???2???a??0

72

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 1?2?a??1?1?a??0?6Ka?M2?a?EI?M1?a?EI??F?l?a?EI

可得在外力F作用下，梁与水平面的接触长度为a?（2）计算梁B端与水平面的垂直距离

梁在受力前，在截面a+x处的曲率和弯矩分别为

Fl

F?6EIK1?1?x???1???a?x??6K(a?x) M1?x??0

梁在受力F作用后，在截面a+x处的曲率和弯矩分别为

1?2?x???2???x? M2?x???F?l?a?x?

由弯曲变形基本方程，得

1?2?x??1?1?x???2???x??6K(a?x)?M2?x?EI

?M1?x?EI??F?l?a?x?EI

因此有 ?2???x??6K(a?x)?F?l?a?x?EI3积分两次，得?2?x??3Kax?Kx?2F?l?a?x22EIFx3?Cx?D 6EI由边界条件：x?0时，?????0，可得C?D?0。 注意到 l?a?l?Fl6KEIl ?F?6KEIF?6KEIF?l?a?2EI3因此，可得梁B端与水平面的垂直距离为

?B??2(l?a)?3Ka?l?a??K?l?a??23?F?l?a?6EI336(KEIl)3? EI(F?6KEI)2第十章 简单超静定

10.1 对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构；(2)列出相应的变形协调条件。

解：（a）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力

（b）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束 （c）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力

d）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B处多了一个水平约束，（图一）但在

73

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=0（e）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B处引起的挠度?B等于支座B产生的支反力FNB引起的变形?B，即

?B??B

f）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力

g）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束

（h）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=0

10.2 如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA。试求A端和B端的约束力。

解：杆件AB为对称的受力结构，设A、B端的受力为FNA，FNB。且有FNA?FNB 对AC段进行考虑，?l1?对CD段进行考虑，?l2?FNAAF EA F FNBBCDFNAa（受拉） EA (F?FNA)a（受压）

EA1由变形协调方程 2?l1??l2?0得：FNA?F

31即：A、B端的受力均为F（拉力）

310.3 图示结构，AD为刚性杆，已知F＝40 kN，1、2杆材料和横截面积相同，且E1=E2=E=200 GPa，A1=A2=A=1 cm2，a=2 m，l＝1.5 m。试求1、2两杆的应力。 解：设1、2杆的受力分别为FN1，FN2，变形为?l1、?l2 因为杆AD为刚性杆，其变形如图所示 有平衡方程

Δl1 Δl2 BC F D ?MC?0得： FN2l?FN12l?Fl?0 （1）

FN1AFN22 其变形协调方程： ?l1=2?l2 （2） 又有 ?1?1 FN1aFN1aFaFa? ?2?N2?N2 E1A1EAE2A2EA联立方程（1）、（2）得： FN2a?FN12a?Fa?0 ，FN1?16KN FN2?8KN

有公式 ??FF16000得： ?1=N1=Pa?160MPa AA0.0001 74

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 ?2?10.4 图示为一个套有铜套的钢螺栓。已知螺栓的横截面积A1=600 m2,弹性模量E1=200 GPa；铜套的横截面积A2=1200 m2,弹性模量E1=100 GPa。螺栓的长度l=750 mm，螺距s=3 mm。设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力，试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力FN1和FN2：

（1）螺母拧紧1/4圈；

（2）螺母拧紧1/4圈，再在螺栓两端加拉力F=80kN；

（3）由初始状态温度上升?t?50?C。设钢的线膨胀系数?1?12.5?10线膨胀系数?2?16?10?6?6FN28000?Pa?80MPa A0.0001/?C，铜的

/?C

解：（1）把螺母旋进1/4圈，必然会使螺栓手拉而套筒受压。如将螺栓及套筒切开，容易写出平衡方程FN1?FN2?0

现在寻求变形协调方程。设想把螺栓及套筒切开，当螺母旋进1/4圈时，螺母前进的距离为s/4。这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长?l1，而把套筒压短?l2，这样二者才能配合在一起。设二者最后在某一位置上取得协调，则变形之间的关系为?l1??l2?s 4式中?l1和?l2皆为绝对值。钢螺栓的抗拉强度为E1 A1 ，套筒的抗压刚度为E2 A2，由胡克定律?l1?FN1lE1A1FN1lE1A1， ?l2?FN2lE2A2

于是有

?FN2lE2A2?ssE1A1E2A2?60KN ，可解出 FN1?FN2?44l(E1A1?E2A2)（2）先把螺母旋进1/4圈，则螺栓与套筒的轴力为FN1?FN2?再在螺栓两端加拉力F=80kN后， 螺栓的轴力F套筒的轴力为0KN

（3） 先写出平衡方程 FN1?FN2?0

温度上升后变形条件为 ?l1??l2??lt ?lt?l?t(?1??2) 由胡克定律 ?l1?'N1sE1A1E2A2?60KN

4l(E1A1?E2A2)?FN1?80?140KN（受拉）

FN1lE1A1， ?l2?FN2lE2A2

联立上面的式子有FN1?FN2?855KN

10.5 如图所示结构，其中杆AC为刚性杆，杆1，2，3的弹性模量E、横截面面积A 和长度

l均相同，点C作用垂直向下的力F。试求各杆内力值。

75

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 解：杆ABC的受力图如图所示，平衡条件为

?F?MY?0, FN1?FN2?FN3?F （1） ?0, FN2?FN1(2a)?0 （2）

FN1AΔl1FN2BΔl2FN3CΔl3C变形的几何关系如图所示，变形协调方程为

F?l1??l3?2?l2 （3）

FN1lFN3lFl??2N2 （4） EAEAEA115联立（1）、（2）、（4）式，解得FN1??F FN2?F FN3?F

636利用胡克定律将（3）式变为10.6 试求图示结构的许可载荷用应力为

?F?。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许

AFN1Δl1???，梁AB可视为刚体。

CFN3Δl3解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示 其静力学平衡条件为

FN2BΔl2 ?Fy?0, FN1?FN2?FN3?F （1）

CF?M?0, FN2?FN1 （2）

变形协调条件为?l1??l2??l3 （3） 利用胡克定律，可得各杆的伸长?l1?FN1l1FlFl ?l2?N22 ?l3?N33 EAEAEA代入（3）式的补充方程 FN1?2FN3?FN2 （4） 联立（1）、（2）、（4）式，解得各杆内力:FN1?由杆1或杆2的强度条件:?1??2?221F FN2?F FN3?F 555FN112?F?[?] AA55[A ]得 [F1]?2.?由杆3 的强度条件:?3?得 [F3]?5[?]A

比较[F3]和[F1]，所以结构的许可载荷为[F]?2.5[?]A

10.7 图示结构中，ABC为刚性梁，已知F?20 kN，杆1和杆2的直径分别为d1?10 mm，

FN311?F?[?] AA5d2?20 mm，两杆的弹性模量均为E?210 GPa。试求1、2两杆的内力。

解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示 其静力学平衡条件为

?MC?0, FN1?2?FN2?1?F?4 （1）

76

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 变形协调条件为?l1?2?l2 （2） 利用胡克定律，可得各杆的变形 ?l1?FN1l1Fl ?l2?N22 （3） EA1EA2l1?l2?l?2m d1?10mm d2?20mm （4）

联立（2）、（3）、（4）有 FN2?2FN1

再联立（1）有 FN1?F?20KN FN2?2FN1?2F?40KN

10.8 刚杆AB悬挂于1、2两杆上，1杆的横截面积为60 mm2，2杆为120 mm2，且两杆材料相同。若F＝6 kN，试求两杆的轴力及支座A的反力。 解：杆1和杆2的受力图如图所示，

这是一次超静定问题，可利用的平衡方程只有一个

AFN1FN2FRAyFΔl1Δl2?MA?0, FN1?1?FN2?2?F?3 （1）

变形协调方程为

F?3/2?l1FN1l1EA2E?120?101??N1?? （2） ?6?l2EA1FN2l2E?60?10FN2?4/32解（1）、（2）式，得 FN1?3.6KN FN2?7.2KN 由平衡条件

?6B ?Fy?0, FN1?FN2?FRAy?F 得 FRAy?4.8KN

10.9 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由铰支座C支撑，如图所示。由于制造误差，杆1的长度短了??1.5 mm。已知两杆的材料和横截面积均相同，且

E1?E2?200GPa，A1?A2?A。试求装配后两杆的应力。

解：设1杆伸长?1则2杆伸长?2?2?2????1? 4

2F1?2?MC?0，F24F?0，F2?1 22满足：F1??1A??2?1EA EA ,F2??2A?1.51.52 ,?1?0.122mm ,?1?代入得?2?4F2????1?，F2?142?1E?16.2MPa 1.5?2??21.52E?45.9MPa

77

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析

10.10 图示阶梯状杆，左端固定，右端与刚性平面相距??1 mm。已知左右两段杆的横截面积分别为600 mm2和300 mm2，材料的弹性模量E?210 GPa，试求左右两段杆的内力。 解：这是一次超静定问题，受力图如图所示，其静力学平衡方程为

?Fx?0, FA?FB?60 （1）

变形协调方程为 ?lAC??lCBAFA?? （2）

C60KN利用胡克定律，可得各段杆的变形

?lACFlFl?AAC ?lCB??BBC EA1EA2BFB 代入（2），的补充方程FA?2FB?42 （3） 联立（1）、（3），解得 FA?54KN FB?6KN

10.11 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知左右两段杆的横截面积分别为A和2A，材料的弹性模量E?210GPa，线膨胀系数??12.5?10 /?C。试求温度升高30?C时左右两段杆的应力。

解：阶梯状的受力图，如图所示，静力学平衡条件为

?6?Fx?0, FA?FB?0 （1）

AFABFB ??l t （2） 变形协调方程为 ?lAC??lCB利用胡克定律，可得各段杆的变形

FAlFlFl ?lCB?B?A EA2EA2EA连同温度变形 ?lt?2l?T? ?lAC?3FAl?2?Tl? （3） 2EA4?Tl?联立（1）、（3）得FA?FB?EA

3FF4?Tl?1所以杆内各段的应力?AC?A?E?105l ,?BC?B??AC?52.5l

A32A210.12 如图所示两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩Me。已知左右两段轴

一并代入（2），得补充方程

的直径分别为d1和d2，设d1?2d2，材料的切变模量为G。试求两固定端处的支反力偶矩MA和MB。

解：此为一次超静定问题，阶梯轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为

A MA Me C MBB ?Mx?0, MA?MB?Me （1）

因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即

?AC??CB （2）

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习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 端面A，B相对于截面C的扭转角分别为?AC?MAlMAl （3） ?GIp1G?(2d)4322MBl2MBl （4） ??GIp2Gd432321解上面四个式子可得固定段的支反力偶矩MA?Me MB?Me

333310.13 图示一两端固定的钢圆轴，直径d?60 mm，轴在截面C处受一外力偶矩

?CB?Me?3.8 kN?m。已知钢的切变模量G=80 GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力

和截面C的扭转角。

解：此为一次超静定问题，圆轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为

A MAMe MBB ?Mx?0, MA?MB?Me

?AC??C B

因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即

并且有?AC?MAlCAMl ?CB?BBC GIpGIp联立上面的式子有MA?21Me MB?Me 33MA23.8?103???Pa?59.8MPa 3Wp3?0.0616MB13.8?103???Pa?29.9MPa 3?0.06Wp316所以截面C左侧圆轴横截面上的最大切应力?max所以截面C右侧圆轴横截面上的最大切应力?max截面C的扭转角

?C??AC??CBMAlCA23.8?103?0.5180??????0.713? 4?0.06GIp3??80?1093210.14 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一个直径相同的贯穿小孔，但两孔的中心线成一个?角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后，卸除施加在杆B上的外力偶。试求管A和杆B横截面上的扭矩。设管A和杆B的材料相同，切变模量为G，极惯性矩分别为IpA和IpB。

解：先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过?角，当套A和杆B上的孔对准重合后，装上销钉，然后取出外力偶矩，这时杆B产生回弹，并带动套A

MA DA CMBE B 79

习题解答 第六章 杆类构件的内力分析 的截面C相对截面D转过一个?A角，杆B回弹后，其截面C相对截面E的实际转角为?B，并且有?A??B?? （1） 达到平衡状态时的受力图如图所示，其静力平衡条件为将 ?A??Mx?0, MA?MB （2）

MAlAMl ?B?BB GIpAGIpBGIpBIpA?lAIpB?lBIpA

代入（1）后与（2）联立，可解得MA?MB?10.15 试求图示AB梁B截面的挠度。设AB梁各截面的抗弯刚度均为EI，BC杆的抗拉刚度为EA。

解：这是一次超静定问题，解除拉杆对梁的约束，代之以轴力FN，如图所示，变形协调条件是在梁的均布载荷q和轴力FN的作用下，梁在B点的挠度等于拉杆的伸长，即?B??l 应用叠加原理有

3 Cq A FN B ωB=ΔlFNaq(2a)4FN(2a)6Aqa3?? FN? 28EI3EIEA3I?8AaFNa6qa4?所以有?B??l? EA3EI?8EAa210.16 求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力可以省略。 解：（a）图示为二次超静定结构，因结构和载荷均对称，从中间把梁切开，（图

A q C X1 C X1a1）截面上的反对称内力即剪力必为零，只有弯矩X1，问题简化为一次超静定。

因对称截面的转角为零，所以正则方程为?11X1??1F?0 （1） 利用图乘法（图a2）求系数?11和常数?1F

AMA a/2q1(1?(a/2))?1a (2）?11??MC??EIEI2EI1a1(??qa2)?11qa3328 （3） ?1F??MC????EIEI48EI将（2）、（3）入上述正则方程（1）式得

FRA(a1) A _ Mq CX1???1F?11qa3/(48EI)qa2??

a/(2EI)24ql28 qA MC1 根据平衡条件求约束反力，

1a2M?0, M?X?q()?0?AA122+ 1(a 2) qa2qaMA??（逆时针） FRA?（向上）

122qa2qa有对称性可求得MB?（顺时针） FRA?FRB?（向上）

122 80