2019年

∴切线方程为y＝(x－1)，

令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－， ∴所求三角形面积为S＝×1×＝. 答案：2ln 2

9．(2017·东营一模)函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．

解析：∵f(x)＝xln x， ∴f′(x)＝ln x＋1，

由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，

即f′(x0)＝1?ln x0＋1＝1?ln x0＝0?x0＝1， ∴f(x0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)

10．设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sin x上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围是________．

解析：设曲线f(x)上任意一点A(x1，y1)，曲线g(x)上存在一点B(x2，y2)，f′(x)＝－ex－1，g′(x)＝m－3cos x.

由题意可得f′(x1)g′(x2)＝－1，且f′(x1)＝－ex1－1∈(－∞，－1)，g′(x2)＝m－3cos x2∈[m－3，m＋3]．

因为过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sin x上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，

所以(0,1)?[m－3，m＋3]，所以m－3≤0，且m＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题

11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

1

2019年

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

k≥－1，??

则由题意，及(1)可知，?1

－≥－1，??k

解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．

12．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝excos x－x，

所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，

则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当x∈时，h′(x)＜0， 所以h(x)在区间上单调递减．

所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0， 即f′(x)＜0.

所以函数f(x)在区间上单调递减． 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1， 最小值为f＝－.

2019年

1．(2018·广东七校联考)已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满足( )

A．0

B.

3

解析：选D y＝ln x，x∈(0,1)的导数y′＝>1， 设切点为(t，ln t)，

则切线l的方程为y＝x＋ln t－1，

因为函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线l的斜率为2x0， 则切线方程为y＝2x0x－x，

因为l也与函数y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切， 则有则1＋ln 2x0＝x，x0∈(1，＋∞)． 令g(x)＝x2－ln 2x－1，x∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x0，则排除A、B；