2019年

解析：选C y′＝6x2－6x，

由y′＝6x2－6x>0，可得x>1或x<0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y′＝6x2－6x<0，可得0

即单调减区间是(0,1)，所以函数在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1.

4．若f(x)＝－x2＋mln x在(1，＋∞)是减函数，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) C．(－∞，1] B．(1，＋∞) D．(－∞，1)

解析：选C 由题意，f′(x)＝－x＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x2>1，所以m≤1.

5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) C．(1,4) B．(0,3) D．(2，＋∞)

解析：选D 依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.

6．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝( )

A．0 C．2 B．1 D．3

解析：选B f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，所以f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)．由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当13时，f′(x)>0，此时在x＝1处取得极大值，不合题意，∴m＝1，此时f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当1时，f′(x)>0，此时在x＝1处取得极小值．选B.

7．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D.2

1

2019年

解析：选A 已知曲线y＝－3ln x(x>0)的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，得x＝3，故选A.

8．若函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是( ) A．[2,3] C．(－∞，2]

B．(2,3] D．(－∞，2)

解析：选A 当x≤0时，0≤f(x)＝1－2x<1； 当x>0时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝1－3＋a＝a－2.由题意得0≤a－2≤1，解得2≤a≤3，选A.

二、填空题

9．若函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.

答案：(－∞，0)

10．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3， ∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，

∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8

11．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.

解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝×1＋3＝， ∴f(1)＋f′(1)＝＋＝4. 答案：4

12．已知函数g(x)满足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋x2，且存在实数x0，使得

2019年

不等式2m－1≥g(x0)成立，则实数m的取值范围为________．

解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x， 令x＝1时，得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1， ∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1， ∴g′(1)＝e，

∴g(x)＝ex－x＋x2，g′(x)＝ex－1＋x， 当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0， ∴当x＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题

13．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.

(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若对于任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1－(x≠0)，

由已知及导数的几何意义得f′(2)＝3，则a＝－8.

由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.

(2)由(1)知f′(x)＝1－(x≠0)．

当a≤0时，显然f′(x)>0，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

(－∞，－x a) －a 0 极大值 (－a，0) － (0，a) － a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ f′(x) f(x)

＋ 2019年

所以当a>0时，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，0)，(0，)上是减函数．

(3)由(2)知，对于任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立等价于即对于任意的a∈成立，从而得b≤，

所以实数b的取值范围是.

14．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝－－(x>0)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，

知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－， 则f′(x)＝，

令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；

当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)

导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析]

考点 导数的几何意义 考查频度 5年8考 导数的运算 考查角度 求切线、已知切线求参数、求切点坐标 [典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝( ) A．－

B．－π2 1