考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．

113．（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交

21于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

2（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

S1的S2

【答案】（1）y??【解析】

123429x?x?2；（2）①；②﹣2或?． 22511

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P

（?35，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如22图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

1试题解析：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，∴

213??123?0???16?4b?c?b??，∴?22，∴y??x?x?2； ?22??2?cc?2??（2）①如图，令y=0，∴?123，过D作DM⊥x轴x?x?2?0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0）

22DEDMS1 ==，设S2BEBN于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴

D（a， ?12315，∴M（a，a?2），∵B（1.0），∴N（1，），∴a?a?2）

22221?a2?2a144S1DMS2==2=?(a?2)?；∴当a=-2时，1的最大值是；

5S2BNS25552②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=25，BC=5，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（?∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=两种情况：

情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=

35，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2224，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G．分31，213?a2?aRC1131232?1，即，∴DR=﹣a，RC=?a?a，∴2?，令D（a，?a2?a?2）DR22222?a2∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴xD=﹣2． 情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=∴FG=6k，∴CG=2k，DG=35k，∴

43k1，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，3FG2115kDR?a254545115?5?∴RC=k，RG=k，DR=35k﹣k=k，∴，∴a1=0

1235555RC25k?a?a225（舍去），a2=?29． 11综上所述：点D的横坐标为﹣2或?29． 11

考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 14．（2017江苏省苏州市）如图，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于 A．B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

2

【答案】（1）b=-2， c=﹣3；（2）F（0，﹣2）；（3）Q（【解析】

115315，? ）或（，?）． 2424

（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标． 试题解析：（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴?b=1，b=-2． 2∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；

（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6． ∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN=S△APM，∴

11(n?1)(3?n) =(?n2?2n?3)?QR，∴QR=1． 223时，NQ取最小值1．此2①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=时Q点的坐标为（

115，? ）； 24②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．

1315时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，?）． 224115315综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，? ）或（，?）．

2424同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=