考点:1.二次函数综合题;2.探究型;3.存在型;4.分类讨论;5.压轴题.
113.(2017江苏省盐城市)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交
21于点C,抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
2(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;
①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求最大值;
②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
S1的S2
【答案】(1)y??【解析】
123429x?x?2;(2)①;②﹣2或?. 22511
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,求得P
(?35,0),得到PA=PC=PB=,过作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延线于G,情况一:如22图,∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,情况二,∠FDC=2∠BAC,解直角三角形即可得到结论.
1试题解析:(1)根据题意得A(﹣4,0),C(0,2),∵抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,∴
213??123?0???16?4b?c?b??,∴?22,∴y??x?x?2; ?22??2?cc?2??(2)①如图,令y=0,∴?123,过D作DM⊥x轴x?x?2?0,∴x1=﹣4,x2=1,∴B(1,0)
22DEDMS1 ==,设S2BEBN于M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,∴DM∥BN,∴△DME∽△BNE,∴
D(a, ?12315,∴M(a,a?2),∵B(1.0),∴N(1,),∴a?a?2)
22221?a2?2a144S1DMS2==2=?(a?2)?;∴当a=-2时,1的最大值是;
5S2BNS25552②∵A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2),∴AC=25,BC=5,AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,∴P(?∠BAC,∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=两种情况:
情况一:如图,∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,∴∠CDG=∠BAC,∴tan∠CDG=tan∠BAC=
35,0),∴PA=PC=PB=,∴∠CPO=2224,过作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G.分31,213?a2?aRC1131232?1,即,∴DR=﹣a,RC=?a?a,∴2?,令D(a,?a2?a?2)DR22222?a2∴a1=0(舍去),a2=﹣2,∴xD=﹣2. 情况二,∴∠FDC=2∠BAC,∴tan∠FDC=∴FG=6k,∴CG=2k,DG=35k,∴
43k1,设FC=4k,∴DF=3k,DC=5k,∵tan∠DGC==,3FG2115kDR?a254545115?5?∴RC=k,RG=k,DR=35k﹣k=k,∴,∴a1=0
1235555RC25k?a?a225(舍去),a2=?29. 11综上所述:点D的横坐标为﹣2或?29. 11
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.最值问题;4.存在型;5.分类讨论;6.压轴题. 14.(2017江苏省苏州市)如图,二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于 A.B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点. (1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
2
【答案】(1)b=-2, c=﹣3;(2)F(0,﹣2);(3)Q(【解析】
115315,? )或(,?). 2424
(3)设点P坐标为(n,0),可表示出PA、PB、PN的长,作QR⊥PN,垂足为R,则可求得QR的长,用n可表示出Q、R、N的坐标,在Rt△QRN中,由勾股定理可得到关于n的二次函数,利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值,则可求得Q点的坐标. 试题解析:(1)∵CD∥x轴,CD=2,∴抛物线对称轴为x=1,∴?b=1,b=-2. 2∵OB=OC,C(0,c),∴B点的坐标为(﹣c,0),∴0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0(舍去),∴c=﹣3;
(2)设点F的坐标为(0,m).∵对称轴为直线x=1,∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2,m).
由(1)可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴E(1,﹣4),∵直线BE经过点B(3,0),E(1,﹣4),∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6. ∵点F在BE上,∴m=2×2﹣6=﹣2,即点F的坐标为(0,﹣2); (3)存在点Q满足题意.
设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3﹣n,PN=﹣n2+2n+3. 作QR⊥PN,垂足为R,∵S△PQN=S△APM,∴
11(n?1)(3?n) =(?n2?2n?3)?QR,∴QR=1. 223时,NQ取最小值1.此2①点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n﹣1,n2﹣4n),R点的坐标为(n,n2﹣4n),N点的坐标为(n,n2﹣2n﹣3),∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n﹣3)2,∴n=时Q点的坐标为(
115,? ); 24②点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n+1,n2﹣4).
1315时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(,?). 224115315综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为(,? )或(,?).
2424同理,NQ2=1+(2n﹣1)2,∴n=