（3）设M（a，a?2a?3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．

试题解析：（1）由y?ax?bx?3得C（0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y?ax?bx?3得：?的解析式为y?x?2x?3；

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；

（3）设M（a，a?2a?3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．

22222?4a?2b?3?3?a?1，∴?，∴抛物线

?a?b?3?0?b??2

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．分类讨论；4．压轴题．

7．（2017济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线y?一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；

（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；

（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

33（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意x

【答案】（1）P（0）． 【解析】

23333，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在， M（3，3），N（23，3434

（2）作ME⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=23，直线OM的解析式为y=

3x，ON=2，∠3MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=P的纵坐标即可；

1ON=1，求出2②求出MN=(3)?1=2，由相似三角形的性质得出横坐标即可；

2223PNMN，求出PN=，在求出P的?3ONMO（3）证出OM=23=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△ABC的内部，得出∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；

过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=

MN =3，∴∠AON=60°，∵当点M的坐标是（3，3），ON点N的坐标是（3，0），∴∠MNO=90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°，在Rt

△OPN中，OP=ONcos60°=

33331，∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP?sin60°=×222243333=，∴P（，）； 2444（2）作ME⊥x轴于H，如图3所示：

22∵点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0），∴OM=3?(3) =23，直线OM的解

析式为y=

3x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：学科#网 3①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=

3331ON=1，∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）；

3332②如图4所示：

由勾股定理得：MN=(3)?1=2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴

22PNMN，?ONMO即

23232333PN2?，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解

3333322323）； 3233）或（2，）；

33得：x=2，∴P（2，综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（3，3），N（23，0）；理由如下：

∵M（3，3），N（23，0），∴OM=23=ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．

考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 8．（2017山东省潍坊市）如图1，抛物线y?ax?bx?c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

2

【答案】（1）y??x?2x?3；（2）t=

21317时，△PEF的面积最大，最大值的立方根为；（3）t1010的值为1或【解析】

1?5． 2

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等