考点：1．圆的综合题；2．最值问题；3．存在型；4．阅读型；5．压轴题．

25．（2017辽宁省抚顺市）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．

（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系； （2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； （3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设

AP=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否OQ存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5． 【解析】

试题解析：（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB． （3）连接BQ．

易证△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴

APAB=，∵∠AOB=30°，∴当BA⊥OQOBOM时，

AB的值最小，最小值为0.5，∴k=0.5． OB考点：1．相似形综合题；2．最值问题；3．动点型；4．探究型；5．存在型；6．压轴题．