23．（2017辽宁省营口市）如图，抛物线y?ax?bx?2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

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【答案】（1）y?2512191433（2）；（3）当N（，﹣）或（4.6，）或（5?，x?x?2；

54224585255）或（5?，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形． 555【解析】

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式，设D（m，0），得到E（m，

1121m?2），P（m，m?m?2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D，P，242E的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设M（n，

1n?2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n的2值，于是得到N的坐标；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴

21??ba???1121???4，解得：，抛物线解析式为y?x?x?2； 2a??42?b??1?(?2)2a?2b?2?0???2（2）令y?121，C（0，﹣2），x?x?2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0）

421?k??4k?b?01?设BC的解析式为y=kx+b，则：?，解得：?，∴，y?x?2 ，设D（m，0）22?b??2??b??21121，∵OD=4PE，∴m=4（m?m?2m?2）

242171﹣m?2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面242171133积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

242281（3）存在，设M（n，n?2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂

2199191直平分BD，∴n=4+=，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

222424∵DP∥y轴，∴E（m，m?2），P（m，m?21214②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即(n?2)?(n?5)?1，∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，

122222525254122），同理(n?2)?(4?n)?1，∴n1=4?（不合题意，舍去），n2=4?，∴N（5?，

555525）； 5③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即(n?2)?(n?4)?1，

1222∴n1=4?2525255，n2=4?（不合题意，舍去），∴N（5?，）． 5555255255914，﹣）或（4.6，）或（5?，）或（5?，），以点B，

5555245综上所述，当N（

D，M，N为顶点的四边形是菱形．

考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．存在型；4．动点型；5．压轴题． 24．（2017陕西省）问题提出

（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ； 问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

【答案】（1）43；（2）PQ=122；（3）喷灌龙头的射程至少为19.71米．

【解析】

在Rt△AOD中，由勾股定理解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论．

11AC=×12=6，∵O是内心，△ABC是2211AD等边三角形，∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，∴

22OA试题解析：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=OA=6÷3=43，故答案为：43； 2（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，

2222MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM?MQ =12?12=122；

（3）如图3，作射线ED交AM于点C．∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=

1AB=12，在Rt△2AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，

11AB?MN=96，×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽22DCADDC1216△ANM，∴，∴，∴DC=，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接?MNAN8183AB=24，∴

MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2?OH2=32?62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米）．

答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．