515t=4，∴m=4﹣t．

44535综上所述：m=4﹣t或m=4﹣t．

44∵OC+AQ﹣CQ=4，∴m+5t﹣（3）解：存在．理由如下：

如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=

1327，由（2）可知，m=﹣或． 288

如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，由（2）可知，m=﹣

273或． 22

综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣

327273，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）． 8822考点：1．一次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．学科*网

19．（2017湖北省黄石市）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y?

4

（x＞0）的图象相交于A、x

C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a，

44）、（c，），其中a＞c＞0． ac（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；

（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；

（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）-1；（3）（【解析】

126，）． 55

（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，在△OAT中，利用等积法可求得OM的长，在RtOMT中可求得MT的长，作MN⊥x轴，同理可求得MN的长，则可求得ON的长，可判断N在线段BT上，满足条件，从而可知存在满足条件的M点． 试题解析：（1）证明：

由题意可知P（c，），E（0，），D（c，0），∴PA=a﹣c，EP=c，PC=

4c4a444(a?c)4﹣=，DP=，caaca∴

EPcDP，且∠EPD=∠APC，∴△EPD∽△CPA，∴∠EDP=∠ACP； ??PAa?cPC（2）解：如图1，连接AD、EC，由（1）可知DE∥AC，∴∠DEC+∠ECA=180°，∵A、D、E、C四点在同圆周上，∴∠DEC+∠DAC=180°，∴∠ECA=∠DAC，在△AEC和△CDA中，∵∠ECA=∠DAC，∠AEC=∠CDA，AC=CA，∴△AEC≌△CDA（AAS），∴CD=AE，即a=

4，可得ac=4，c4?44ka?b???4?a∵A、C在直线l上，∴?，解得k=ac=﹣=﹣1；

aca?c?kc?b?4?c?（3）假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，如图2，∵c=1，∴C（1，4），F（0，4），P（1，

4），B（a，0），设直线BF的解析式为y=k′x+4，由题意a?k'a?4?0?可得：?，∴AP为△DCT的中位线，∴T（3，0），∴4，解得a=2，∴A（2，2）

k'?4??a?22AT=(3?1)?(0?2) =5

∵S△OAT=

11OT?AB3?26OT?AB=AT?OM，∴OM===，在Rt△OMT中，MT=OT2?OM2 22AT55=3?2363OM?MT6 =，同理可求得MN==，在Rt△OMN中，ON=OM2?MN2 5OT55=36361212? =，∵2＜＜3，∴点M在线段AT上，即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，52555M点的坐标为（

126，）． 55

考点：1．反比例函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．压轴题．

20．（2017湖南省郴州市）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE． （1）求证：△CDE是等边三角形；

（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）△BDE的最小周长=23+4；（3）t=2或14s． 【解析】

（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s． 试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；

（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；

（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；