备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟

第七篇 专题复习篇

专题40 存在性问题 ?解读考点

知 识 点 名师点晴 掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的等腰、直角三角形来源:ZXXK][来源:ZXXK][来源:ZXXK] 存在性问题来源:Z§xx§k.][来源学*科*网 平行四边形问题 抛物线的存 在性 相似三角形 等腰梯形、直角梯形 线段最值 面积最值问题 理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法 理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法 理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法 掌握线段最大值或线段和的最小值的求法 解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题 ?2年中考

【2017年题组】

一、选择题 二、填空题 三、解答题

1．（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

2

323929（2）S=?t?t，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面x?x?3；

8410592430积是；（3）t=或t=．

101719【答案】（1）y??【解析】

（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．

试题解析：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y?ax?bx?c（a≠0），得：?2?4a?2b?3?0，解得：

?16a?4b?3?03?a???8?3233?，所以该抛物线的解析式为：y??x?x?3； ?b?844??c?3??（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC=32?42=5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，

HNBNHNt311399??，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t，即S=?t2?t ，即OCBC3552251059992=?(t?1)?，当△PBQ存在时，0＜t＜2，∴当t=1时，S△PBQ最大=． 1010109答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；

10OB4?． （3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=

BC5∴

设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．

BN4t424?，即?，化简，得17t=24，解得t=； MB56?3t5176?3t430②当∠BMN=90°时，cos∠B=?，化简，得19t=30，解得t=．

t5192430综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．

1719①当∠MNB=90°时，cos∠B=

考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．动点型；5．存在型；6．分类讨论；7．压轴题．学科~网

2．（2017四川省凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

32955x?x?6；（2）运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；（3）P84327563（3，）或（5，）．

88【答案】（1）y??【解析】

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y??设点P的坐标为（m，?m?3x?6．由二次函数图象上点的坐标特征可4329．过点P作PE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）m?6）

841145中的结果求得S△PBC=．则根据图形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP?m+?EP?（8﹣m），把相关

2223245线段的长度代入推知：?m?12m=．

22试题解析：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），

3?a???8?4a?2b?c?0?3299??根据题意得：?64a?8b?c?0，解得：?b?，∴抛物线的解析式为y??x?x?6；

844?c?6???c?6??（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，6）．在Rt△BOC中，BC=82?62=10．如图，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，

HNBNHNt311392，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（10﹣3t）?t=?t?3t=??OCBC61052251095555﹣（t﹣）2+，当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t=时，S△MBN最大=． 10323255答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；

32∴

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．