概率论与数理统计习题集及答案 下载本文

未知参数? 的极大似然估计。

第7章作业答案

§7.1 1:(X2); 2: 5, 4.97; 1?X§7.2 1:(n?lnXi?1n?1)2;

i一.填空题(每空题2分,共计60分)

1、A、B是两个随机事件,已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3,则

p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ,P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2

只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 1/3 。(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。

3、设随机变量X服从B(2,0.5)的二项分布,则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、

0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

(1)抽到次品的概率为: 0.12 。

(2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右,则a?0.1, E(X)?0.4,X与Y的协方差为: - 0.2 , 0 1 0.2 0.3 0.4 a -1 1 Z?X?Y2的分布律为:

6、若随机变量

1 2 0.6 0.4 概率 X~N(2, 4)且

?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,则P{?2?X?4}?0.815 ,

Y?2X?1,则Y~N( 5 , 16 )。

7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X、Y相

互独立,则:E(2X?Y)? - 4 ,D(2X?Y)? 6 。 8、设D(X)?25,D(Y)?1,Cov(X,Y)?2,则D(X?Y)? 30

9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本,X为样本均值,S2为样本方

差。则:X~N(8 , 8/13 ),

X?8252~ t(25)。 S~?2(25),

16s/25?ax2, 0?x?1二、(6分)已知随机变量X的密度函数f(x)??

, 其它?0 求:(1)常数a, (2)p(0.5?X?1.5)(3)X的分布函数F(x)。

解:(1)由

?????f(x)dx?1,得a?3

(2) p(0.5?X?1?5)=

?1..50.5f(x)dx??3x2dx?0.875

0.51?0 x?0?3 (3) F(x)??x, 0?x?1

?1 , 1?x?三、(6

分)设随机变量(X,Y)的联合概率密度为:

0?x?1,0?y?1?2y, f(x,y)??

, 其它?0 求:(1)X,Y的边缘密度,(2)讨论X与Y的独立性。 解:(1) X,Y的边缘密度分别为:

(2)由(1)可见

f(x,y)?f(?f(, 可知: X,Y相互独立 Xx)Yy)3. 填空题(每小题2分,共计60分)

1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设E为等可能型试验,且S包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。 2.P(A)?0.4,P(B)?0.3。若

A与B独立,则P(A?B)? 0。28 ;若已知A,B中至

少有一个事件发生的概率为0.6,则P(A?B)? 0.3,P(AB)? 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的

概率为: 15/28。若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/32 。 4、E(X)?D(X)?1。若

X服从泊松分布,则

P{X?0}?1?e?1;若X服从均匀分布,则

P{X?0}? 0 。

5、设X~N(?,?),且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3,则

2?? 2 ;

P{X?0}? 0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为: 买 (买,不买或无所谓)。

〈0X〈4?? 0.75 ;E(2X?1)?__7___, 7、若随机变量X~U(1,5),则p?D(3X?1)? 12 .

8、设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44,则P{X?n}?0.422?6?k6?k6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 ??k0.40.6???k?k?0??3,并简化计算

69、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X、Y相互独立,

则:E(2X?Y)? -4 ,D(2X?Y)? 6 。

10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本,X为样本均值,S为样本方差。

则:X2~N(20, 1/4 ),pX?20?1= 0.0556 ,

??X?201522?(15)S~,~ t(15)。

16s/15此题中?(2)?0.9772。

??e??x, x?011、随机变量X的概率密度f(x)?? ,则称X服从指数分布,

0, x?0?E(X)?1。 ?13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是: 则X的方差D(X)? 0.21 ;

0 1 0.4 0.3 0.3 0 X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。

0 1 二、 (7分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,

0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率. 解:设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂, 有:

p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5%

A1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3,

3B 表示取到次品,p(B由贝叶斯公式:p(A1B)=

p(A1)?P(BA1)(/?p(Ak)?P(BAk)?0.24

k?10?x?1?ax, 三、(7分)已知随机变量X的密度函数f(x)??

0 , 其它?求:(1)常数a, (2)p(0?X?0.5)(3)X的分布函数F(x)。 解:(1)由 (2)

?????f(x)dx?1,得a?2

0.50.5p(0.?X?1?5)=?0f(x)dx??02xdx?0.25

?0 x?0?2 (3) F(x)??x, 0?x?1

?1 , 1?x?0?x?1,0?y?1?4xy, 四、(7分)设随机变量(X,Y)的联合概率密度为:f(x,y)??

0 , 其它?求:(1)X,Y的边缘密度,(2)由(1)判断X,Y的独立性。 解:(1) X,Y的边缘密度分别为: (2)由(1)可见

f(x,y)?f(?f(, 可知: X,Y相互独立 Xx)Yy)七、(5分)某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知?(1)?0.8413,

?(2)?0.9772。