未知参数? 的极大似然估计。

第7章作业答案

§7.1 1：(X2)； 2： 5， 4.97； 1?X§7.2 1：(n?lnXi?1n?1)2；

i一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则

p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2

只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。

3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、

0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a?0.1, E(X)?0.4，X与Y的协方差为: - 0.2 ， 0 1 0.2 0.3 0.4 a -1 1 Z?X?Y2的分布律为:

6、若随机变量

1 2 0.6 0.4 概率 X~N(2, 4)且

?(1)?0.8413，?(2)?0.9772,则P{?2?X?4}?0.815 ，

Y?2X?1,则Y~N( 5 ， 16 ）。

7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相

互独立，则：E(2X?Y)? - 4 ，D(2X?Y)? 6 。 8、设D（X）?25，D（Y）?1，Cov(X,Y)?2，则D（X?Y）? 30

9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本，X为样本均值，S2为样本方

差。则：X~N（8 ， 8/13 ），

X?8252~ t(25)。 S~?2(25)，

16s/25?ax2, 0?x?1二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??

, 其它?0 求：（1）常数a， （2）p(0.5?X?1.5)（3）X的分布函数F（x）。

解:(1)由

?????f(x)dx?1,得a?3

(2) p(0.5?X?1?5)=

?1..50.5f(x)dx??3x2dx?0.875

0.51?0 x?0?3 (3) F(x)??x, 0?x?1

?1 , 1?x?三、（6

分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：

0?x?1,0?y?1?2y, f(x,y)??

, 其它?0 求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:

(2)由(1)可见

f（x，y）?f（?f（, 可知: X，Y相互独立 Xx）Yy）3． 填空题（每小题2分，共计60分）

1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。 2．P(A)?0.4,P(B)?0.3。若

A与B独立，则P(A?B)? 0。28 ；若已知A,B中至

少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A?B)? 0.3，P(AB)? 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的

概率为： 15/28。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、E(X)?D(X)?1。若

X服从泊松分布，则

P{X?0}?1?e?1；若X服从均匀分布，则

P{X?0}? 0 。

5、设X~N(?,?)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则

2?? 2 ；

P{X?0}? 0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。

〈0X〈4?? 0.75 ；E(2X?1)?__7___， 7、若随机变量X~U(1,5)，则p?D(3X?1)? 12 ．

8、设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则P{X?n}?0.422?6?k6?k6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 ??k0.40.6???k?k?0??3，并简化计算

69、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，

则：E(2X?Y)? -4 ，D(2X?Y)? 6 。

10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本，X为样本均值，S为样本方差。

则：X2~N（20， 1/4 ），pX?20?1= 0.0556 ，

??X?201522?(15)S~，~ t(15)。

16s/15此题中?(2)?0.9772。

??e??x, x?011、随机变量X的概率密度f(x)?? ，则称X服从指数分布，

0, x?0?E(X)?1。 ?13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是： 则X的方差D(X)? 0.21 ；

0 1 0.4 0.3 0.3 0 X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。

0 1 二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，

0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有：

p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5%

A1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3，

3B 表示取到次品，p(B由贝叶斯公式：p(A1B)=

p(A1)?P(BA1)（/?p(Ak)?P(BAk)?0.24

k?10?x?1?ax, 三、（7分）已知随机变量X的密度函数f(x)??

0 , 其它?求：（1）常数a， （2）p(0?X?0.5)（3）X的分布函数F（x）。 解:(1)由 (2)

?????f(x)dx?1,得a?2

0.50.5p(0.?X?1?5)=?0f(x)dx??02xdx?0.25

?0 x?0?2 (3) F(x)??x, 0?x?1

?1 , 1?x?0?x?1,0?y?1?4xy, 四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??

0 , 其它?求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为: (2)由(1)可见

f（x，y）?f（?f（, 可知: X，Y相互独立 Xx）Yy）七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知?(1)?0.8413，

?(2)?0.9772。