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(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A．第一象限 C．第三象限

解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角． 答案 D

2π??π

2．函数y＝sin x?6≤x≤3?的值域是( )．

??A．[－1,1] ?13?

C.?，? ?22?答案 B

2π

3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为3时，a在e方向上的投影为( )． 11

A.2 B．－2 C．4 D．－4 2π?1?

解析 a在e的方向上的投影为|a|cos 3＝8×?－2?＝－4.

??答案 D

4．下列关系式中，不正确的是( )． A．sin 585°<0 C．cos(－690°)<0

B．tan(－675°)>0 D．sin 1 010°<0 ?1?

B.?2，1? ???3?D.?，1? ?2?B．第二象限 D．第四象限

解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，

∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角， ∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0.

答案 C

π?π?|φ|

A.6 B.3 C.4 D．－4 π

解析 由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋2(k∈Z)， ππ

所以3×12＋φ＝kπ＋2(k∈Z)， π

得φ＝kπ＋4(k∈Z)．

ππ

又|φ|<2，所以k＝0，φ＝4，故应选C. 答案 C

→→→1

6．已知D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝3BC，设AB＝a，AC＝b，则AD等于( )． 1

A.3(a－b) 1

C.3(2a＋b)

1

B.3(b－a) 1

D.3(2b－a)

→→→→1→→1→→2→1→21

解析 AD＝AB＋BD＝AB＋3BC＝AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b，故选C. 答案 C

7．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )． A.7 B.10 C.13 D.4

解析 本题若直接求|a＋3b|则较为困难，因此解答时可依据公式|a|＝a2先求(a＋3b)2.

因为|a|＝1，|b|＝1，且它们的夹角为60°， 1故a·b＝cos 60°＝2，

所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋3＋9＝13， 即|a＋3b|＝13，故应选C. 答案 C

8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )．

2233A.2 B．－2 C.2 D．－2 解析 原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) 2＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝2. 答案 A

9．设向量a＝(cos 25°，sin 25°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，若t是实数，且c＝a＋tb，则|c|的最小值为( )．

21A.2 B．1 C.2 D.2 解析 c＝a＋tb＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，tcos 20°) ＝(cos 25°＋tsin 20°，sin 25°＋tcos 20°)， ∴|c|＝?cos 25°＋tsin 20°?2＋?sin 25°＋tcos 20°?2 ＝1＋t2＋2tsin 45°＝t2＋2t＋1 ＝

?2?1

?t＋?2＋，

2?2?

22

∴当t＝－2时，|c|最小，最小值为2. 答案 C

10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sin A，sin B)，n＝(cos B，3cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )． π

A.6 2π

C.3

解析 ∵m·n＝3sin Acos B＋3cos Asin B ＝3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，

∴3sin(A＋B)－cos(A＋B)＝3sin C＋cos C ?π?

＝2sin?6＋C?＝1.

???π?1∴sin?6＋C?＝2，

??

π

B.3 5πD.6

π5ππ2∴6＋C＝6π或6＋C＝6(舍去)，∴C＝3π. 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． cos 2α2

11．若＝－

π?2，则sin α＋cos α＝________. ?

sin?α－4???cos2α－sin2α

解析 原式可化为

2

2?sin α－cos α?＝

?cos α＋sin α??cos α－sin α?

2

2?sin α－cos α?

21＝－2，∴sin α＋cos α＝2. 1答案 2 12．已知向量m＝(3sin x，cos x)，p＝(23，1)．若m∥p，则sin x·cos x＝________. 解析 ∵m∥p，∴3sin x＝23cos x，tan x＝2， ∴sin x·cos x＝2答案 5 a·a

13．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·b.

b·则向量a与c的夹角为________． a·a

解析 ∵a·c＝a·a－a·b·a＝a·a－a·a＝0，

b·∴a⊥c，即a与c的夹角为90°. 答案 90°

π?13π?

14．已知tan(α＋β)＝5，tan?β－4?＝4，那么tan(α＋4)的值为________．

??π??π??

解析 tan(α＋4)＝tan??α＋β?－?β－4??

????

sin x·cos xtan x222＝2＝. sinx＋cosx1＋tanx5