2018年中考数学总复习试题
(2)当AE＝2EF时，FG＝3EF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE， △ADF∽△GCF，
∴AE∶EF＝BE∶DE＝BG∶AD， 又∵AE＝2EF， ∴BG∶AD＝2， ∴BG＝2AD. ∵BC＝AD， ∴CG＝AD，
即FG＝AF＝AE＋EF＝3EF.
【例2】(安顺中考)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
【解析】本题考查矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定． 【答案】解：(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE，
1
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝3180°＝90°.
2
又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°. ∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴DC＝AD.
∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【规律总结】给出结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而答案往往不唯一．解决问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探索结论成立的条件或可能产生结论的条件一一列出，逐个分析．给出条件，让解题者根据探索相应结论，解决这类问题的思路是：从剖析提议入手，充分捕捉题设信息，通过因导果，顺向推理或联想类比、猜想等，从而获得结论．
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◆模拟题区
1．(2017遵义十一中三模)如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M.有下面4个结论：①射线BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD.
(1)判断其中正确的结论是哪几个？(可直接写出序号) (2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 解：(1)正确的结论是①②③； (2)证明①.
∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，
180°－36°
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
2∵AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M， ∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝72°－36°＝36°， ∴BD平分∠ABC. ◆中考真题区
2．(青岛中考)已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC；
(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝______ 时，四边形ACED是正方形？请说明理由． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E. ∵O是CD的中点，∴OC＝OD.
∠D＝∠OCE，??
在△ADO和△ECO中，?∠DAO＝∠E，
??DO＝CO，
∴△AOD≌△EOC(AAS)；
(2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形． 理由如下：
∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.
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又∵OC＝OD，
∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠B＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠COE＝∠BAE＝90°. ∴?ACED是菱形． ∵AB＝AE，AB＝CD， ∴AE＝CD，
∴菱形ACED是正方形.
3．(兰州中考)阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
错误!→错误!→错误! 结合小敏的思路作答
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由．参考小敏思考问题方法解决一下问题；
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
解：(1)四边形EFGH是平行四边形． 理由如下：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点， 1
∴EF∥AC，EF＝AC，
21
同理HG∥AC，HG＝AC，
2
综上可得，EF∥HG，EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形． 由(1)得四边形EFGH是平行四边形， 11
且FG＝BD，HG＝AC，
22∴当AC＝BD时，FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形；
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②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．
理由如下：同(1)得：四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，GH∥AC， ∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，∴GH⊥GF， ∴∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH为矩形.
第三节 运动型问题
近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．
,中考重难点突破)
动点类
【例1】(梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以3cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t s(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 【解析】(1)由已知条件得出AB＝10，BC＝53.由题意知：BM＝2t，CN＝3t，BN＝53－3t，由BM＝BN得2t＝53－3t，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD＝t，四边形ACNM的面积y＝△ABC的面积－△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，
∴AB＝10，BC＝53，BN＝53－3t， 由BM＝BN得2t＝53－3t，
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