。 。 。 专题能力提升练 八 等差数列、等比数列
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a3+7=2a5,则S13= ( ) A.49
B.91
C.98
D.182
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,因为a3+7=2a5, 所以a1+2d+7=2(a1+4d),化为:a1+6d=7=a7.
则S13==13a7=13×7=91.
2.已知在等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则A.3
B.5
C.9
的值为 ( ) D.25
【解析】选D.根据题意,在等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则有a6==15,则q==5,
则==q=25.
2
3.(2018·茂名一模)《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔中间一层有________盏灯 ( ) A.24
B.48
C.12
D.60
【解析】选A.由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,
设等比数列的首项为a,则有解得a=3.
=381,
1
所以该塔中间一层(即第4层)的灯盏数为3×2=24.
4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的
( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
【解析】选C.因为S4+S6>2S5, 所以4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d), 所以21d>20d,所以d>0,
故“d>0”是“S4+S6>2S5”充要条件.
5.(2018·荆州一模)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连
续三项,则的值为 ( )
A. B.4 C.2 D.
【解析】选A.数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项, 所以
=a1·a7,可得(a1+2d)=a1(a1+6d),
2
化为:a1=2d≠0.
所以公比q====2.则==.
6.设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=,an+1=则S2 018等于
( )
A. B.
C.
D.
2
【解析】选B.因为a1=,所以a2=2×-1=,a3=2×-1=,a4=2×=,a5=2×=, 所以数列{an}是以4为周期的周期数列,
所以a1+a2+a3+a4=+++=2,
所以S2 018=504×(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1 008+=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知等差数列{an}前15项的和S15=30,则a2+a9+a13=________. 【解析】设等差数列的公差为d,{an}前15项的和S15=30,
所以=30,即a1+7d=2,
则a2+a9+a13=(a1+d)+(a1+8d)+(a1+12d) =3(a1+7d)=6. 答案:6
8.递减的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S3=13,则a5=________. 【解析】由{an}是递减的等比数列,a2=3,S3=13, 所以a1q=3①,a1+a2+a3=13, 即a2
1+a1q=10.②
由①②解得:q=(q=3舍去),a1=9.
那么a4
5=a1q=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共40分)
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*
). (1)求a1,a2,a3的值.
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
3
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N). 所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3, n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9, n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,所以Sn+1=2an+1-3×(n+1), 两式相减,得an+1=2an+3,* 把bn=an+3及bn+1=an+1+3,代入*式, 得bn+1=2bn(n∈N),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以bn=6×2,
所以an=bn-3=6×2-3=3(2-1).
10.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N,Sn是项.
(1)证明:数列{an}为等差数列.
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值. 【解析】(1)由已知可得2Sn=当n=1时,2a1=
+an,且an>0,
*
n-1
n
n-1
*
*
和an的等差中
+a1,解得a1=1;
+an-1, -+an-an-1,所以
-=an+an-1,
当n≥2时,有2Sn-1=所以2an=2Sn-2Sn-1=
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1, 因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2). 故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可知an=n,设cn=an·bn,则cn=n(-n+5)=-n+5n=-因为n∈N,当n=2或n=3时,{an·bn}的最大项的值为6.
*
2
+,
11.已知等比数列{an}满足a1a6=32a2a10,{an}的前3项和S3=(1)求数列{an}的通项公式.
.
4